边缘密度与图形中顶点数量之间的关系

Question

我想了解如何计算密集与稀疏图形的大O. “简而言之算法”说，对于稀疏图，O（E）是O（V），而密集图O（E）更接近O（V ^ 2）。有谁知道这是如何衍生出来的？

Answer 1

假设图表为simple - 在最坏的情况下，每个节点都可以连接到所有|V|-1个其他节点，从而导致[在非有向图中：] |E| = (|V|-1) + (|V| -2) + ... + 1 <= |V| * (|V| -1) = O(|V|^2)。并在有向图中：|E| = |V| * (|V|-1) = O(|V|^2)。

密集图的一个很好的例子是clique - 它具有所有边缘。

对于稀疏图 - 我们假设连接到每个顶点的边数由一个常数限定。让这个常数为k。因此：|E| <= k* |V|，我们得到|E| = O(|V|)

sparsed图的一个很好的例子是互联网，其中每个URL都是一个节点，每个链接都是边缘。

请注意，如果图表不简单，则无法将|E|与|V|的任何函数绑定。

Answer 2

它不是派生的，而是一个定义。在具有自循环的完全连接（有向）图中，边数| E | = | V |²因此密集图的定义是合理的。稀疏图的定义是O（| E |）= O（| V |）的定义，因此每个顶点有一个恒定的最大边数。

注意，如果边缘的数量要小得多，例如， O（lg | V |），那么它仍然是O（| V |）。人们可以想象一个“半稀疏”类的图，其中包含| E | = O（| V | lg | V |）或类似的东西，但我个人从未在实践中遇到过这样的课程。