具有n个部分的多少个不同分区可以由具有k个元素的集合组成？

Question

可以使用集合{1,2,3,4}制作多少个具有两个部分的不同分区？ 此列表中有4个元素需要分为2个部分。我写了这些，总共有7种不同的可能性：

1. {{1}，{2,3,4}}
2. {{2}，{1,3,4}}
3. {{3}，{1,2,4}}
4. {{4}，{1,2,3}}
5. {{1,2}，{3,4}}
6. {{1,3}，{2,4}}
7. {{1,4}，{2,3}}

现在我必须为集合{1,2,3，...，100}回答相同的问题。 此列表中有100个元素需要分为2个部分。我知道分区的一部分最大可以是50（即100/2），最小的是1（因此一部分有1个数字而另一部分有99）。如何在不写出每个可能组合的无关列表的情况下，确定两个部分的分区有多少种不同的可能性？ 答案可以简化为阶乘（例如12！）吗？ 是否有一个通用公式可以用来查找具有n个部分的多少个不同的分区可以由具有k个元素的集合组成？

Answer 1

1）stackoverflow是关于编程的。您的问题属于https://math.stackexchange.com/领域。

2）一组n个元素中有2个 ⁿ 子集（因为n个元素中的每一个可以包含在特定子集中，也可以不包含在特定子集中）。这给了我们2个 ^n-1 n元素集的不同分区到两个子集中。其中一个分区是微不足道的（其中一个部分是一个空子集，另一个部分是整个原始集合），从您的示例中看起来您似乎不想计算普通分区。所以答案是2 ^n-1 -1（对于n = 4，它给出2 ³ -1 = 7）。

Answer 2

n个部分和k个元素的一般答案是the Stirling number of the second kind S(k,n)。

请注意，通常的惯例是n元素总数，因此S（n，k）

计算通用公式非常难看，但k = 2可行（使用通用符号）：

因此S（n，2）= 1/2（（+1）* 1 * 0 ⁿ +（ - 1）* 2 * 1 ⁿ +（ +1）* 1 * 2 ⁿ ）=（0-2 + 2 ⁿ ）/ 2 = 2 ^n-1 - 1