用MATLAB找到三角函数的Minimax多项式逼近

Question

我试图在MATLAB中使用 remez 交换算法找到正弦和余弦的minimax多项式近似。因为我正在为IEEE-754浮点实现正弦和余弦函数，所以需要精度到23位。

使用此链接here（参见第8至15页），给出了使用Mathematica和Maple查找多项式的指令，但是，我不确定如何为MATLAB推断这些方法。

根据表3，我需要使用5阶或6阶多项式来获得~23位（小数点后）的精度。

我计划首先将所有输入θ的范围缩小到-pi / 4到+ pi / 4之间，然后根据需要执行正弦或余弦函数（最终目标是实现exp（i * x） = cos（x）+ i * sin（x）。

我或许可以自己遵循本文的说明，但我不知道如何在这里使用remez函数。另外，我不遵循为什么作者使用等式（6）（第9页），也不理解k（第11页）的等式是如何确定的（2796201来自哪里？）为什么定义我们希望最终改变为sin9x的多项式的形式= x + kx ^ 3 + x ^ 5 * P（x ^ 2）。

使用 firpm 功能会更好吗（因为 remez 已弃用）？

谢谢，非常感谢所有的帮助和指导，以及为了确保我的问题得到最佳答案而进行的编辑。

Answer 1

我不打算尝试开发自己的近似值。更简单的是拿起一份“计算机近似”，Hart等人。一个好的大学图书馆应该有它。 23位大约是7位十进制数字，因此只需选择一个近似值即可获得所需的精度。您可以选择简单的多项式近似，或者使用有理多项式，只要您能够容忍除法，通常会更好一些。

范围缩小确实有意义，事实上，我在自己的工具中选择了相同的范围（+/- pi / 4），因为这种范围的选择特别容易使用。

编辑:(使用Hart中可以找到的近似值的一个例子。）

这里我将找到sin（x）的近似值，其中x位于区间[0，pi / 4]中。我的目标是在该时间间隔内选择绝对精度至少为1.e-7的近似值。当然，如果你有一个x的负值，我们知道sin（x）是一个奇函数，所以这是微不足道的。

我注意到Hart中的近似值倾向于sin（alpha pi x），其中x位于区间[0,1]中。如果我然后选择alpha = 1/2的近似值，我会得到一个在所选区间内有效的近似值。因此，对于区间[0，pi / 4]的近似值，我们寻找alpha = 1/4。

接下来，我寻找一个被指示具有至少7位左右的绝对精度的近似值，并且我更倾向于使用有理多项式近似，因为它们往往更有效。扫描表格（第118页）（哈特的副本是1978年）我发现alpha = 1/4的近似值符合法案：索引3060.

此近似值为

sin(alpha*pi*x) = x*P(x^2)/Q(x^2)

所以现在我切换到提供SIN 3060系数的页面。在我的副本中，它位于第199-200页。有5个系数，P00，P01，P02，Q00，Q01。 （注意这里使用的有些非标准的科学记数法。）因此P（分子多项式）中有3个项，而Q，分母有2个项。把它写出来，我明白了：

sin(alpha*pi*x) = (52.81860134812 -4.644800481954*x^3 + 0.0867545069521*x^5)/ ...
    (67.250731777791 + x^2)

让我们现在在MATLAB中尝试一下。

x = linspace(0,pi/4,10001);
xt = x*4/pi; % transform to [0,1]
sine = @(x) (52.81860134812*x -4.644800481954*x.^3 + ...
     0.0867545069521*x.^5)./(67.250731777791 + x.^2);

max(abs(sin(x) -sine(xt)))
ans =
   1.6424e-09

plot(x,sin(x)- sine(xt),'-')

注意附在y轴上的1e-9。

看起来这是在特定区间内sin（x）近似的最合理选择，尽管这提供了大约29位的精度而不是你要求的23位。如果您愿意选择不同的范围减少间隔，可以选择一些可以节省一个术语的选项，可能会花费您不需要的几个位。

log2(max(abs(sin(x) -sine(xt))))
ans =
      -29.182