基于反三角函数的成本函数

Question

我有两个点，分别为source和target。我知道源的坐标（例如[-1 1]），问题在于确定目标的位置（例如[1 -1]）。

我有一些测量值，其中一个是从目标到源的箭头角度（即135 deg）。

为了找到目标的位置，我定义了一个最小化的误差函数;我正在使用梯度下降算法，因此我有一个符号错误函数，如;

syms xs ys xt yt
z(xs,ys,xt,yt) = theta - asin((ys - yt)/((xs - xt)^2 + (ys - yt)^2)^.5);

其中theta是测量角度，135 deg（对于理想解z，误差为零，135 - 135 = 0）

还有其他测量值，我计算这些误差函数的雅可比行列式并最小化误差。

无论如何，问题在于此示例中的theta为135 deg，但我们知道asin的输出为[-90 90]，此示例为asin(1/2^.5) = 45 deg 1}}。所以对于正确的答案，我的错误函数z不会为零，我需要更改我的错误函数，我应该使用什么？

我只需要一个错误函数，theta变化超过[0 360]，而asin和atan的范围为[-90 90]，我不能因符号函数而使用if语句。

Answer 1

Matlab定义sym/atan2(Y,X)

如果没有，您可以使用

创建它

function [ theta ] = atan2( dy,dx )
%ATAN2 Four Quadrant Arc Tangent Function
%
    if dx>0
        theta = atan(dy/dx);
    elseif dx<0
        theta = atan(dy/dx)+sign(dy)*pi;
    else
        theta = sign(dy)*pi/2;
    end

end

最后你可以像

一样使用它

z = theta - atan2(ys - yt, xs - xt);

正如@LuisMendo指出的那样。

<强>更新 Wikipedia提及

atan2(y,x) = 2*atan(y/(sqrt(x^2+y^2)+x));

Answer 2

让phi表示从源到目标的箭头角度。您需要一个非负和单峰的错误函数，仅theta==phi的值为零。

该标准由函数

满足

z = (cos(theta) - cos(phi))^2 + (sin(theta) - sin(phi))^2;

或等效地，使用xs，ys，xt，yt代替phi，

z = (cos(theta) - (xs-xt)/((xs - xt)^2 + (ys - yt)^2)^.5)^2 + ...
    (sin(theta) - (ys-yt)/((xs - xt)^2 + (ys - yt)^2)^.5)^2;

此误差函数具有以下解释：如果角度theta和phi表示为单位圆中的点，z是和弦的平方长度< / em>加入这两点。

当然，只需将sqrt应用于上面的表达式，就可以用长度（而不是平方长度）来定义错误;并且可以在0和1之间进行归一化，然后除以2。