Mathematica中反三角函数的范围

Question

让我们假设所有数字都是真实的。我想在间隔中获取ArcSin的mathematica 所有值。特别是，ArcSin在mathematica中的正常行为是ArcSin[x]在[-Pi/2,Pi/2]时间间隔内x处于[-1,1]区间时是[0,2 Pi]。

但是，如上所述，我需要在x间隔内为每个{{1}}获取所有角度。有没有办法实现这个目标？

Answer 1

隐含在Leonid's answer中的是公式

In[1]:= Reduce[Sin[x] == y, x]
Out[1]= (x == ArcSin[y] + 2*Pi*C[1] || x == Pi - ArcSin[y] + 2*Pi*C[1]) && Element[C[1], Integers]

从上面两个无限的解决方案系列中，您可以找到满足任何给定y = sin(x)的{​​{1}}和可接受范围y的角度（参见列昂尼德的回答，其中，每次调用时，都会生成上述条件以及额外条件x，并为start <= x <= end吐出所有解决方案。）

范围x中x值的显式公式为

[0, Pi)

请注意，前两行是边缘值，中间线取自上述无限解的一个族，最后两行合并来自另一族解。这与Leonids评论一致：

  

对于In[2]:= Reduce[Sin[x] == y && 0 <= x < 2 Pi, x] Out[2]= (y == -1 && x == (3 Pi)/2) || (y == 1 && x == Pi/2) || (-1 < y < 1 && x == Pi - ArcSin[y]) || (-1 < y < 0 && x == ArcSin[y] + 2 Pi) || (0 <= y < 1 && x == ArcSin[y]) 的正值（输入，比如Sin），您有x和ArcSin[x]   Pi，而对于-ArcSin[x]的负值，您有x   和Pi - ArcSin[x]。

以上公式假设2 Pi + ArcSin[x]的主要值。

---

主要价值

在任何2 pi时段内，给定ArcSin的{​​{1}}有两种解决方案。从Sin[x] == y（2 pi周期性）

的图表可以看出这一点

要拥有唯一的反函数x = ArcSin[y]，您需要选择所需的特定解（在两个无限族中）。 Mathematica选择标准范围y。这种选择（按照惯例）是inverse trigonometric function

的主要价值

Answer 2

您可以尝试以下内容：

Clear[getAngles];
getAngles[x_, interval : {start_, end_} : {0, 2 Pi}] :=
Module[{y},
  Quiet@Cases[
     Reduce[#, y] & /@ 
       LogicalExpand[
         Reduce[Reduce[Sin[y] == x, y] && start <= y < end, y]], (y == 
     yrhs_?NumericQ) :> yrhs, {2}]]

例如：

In[90]:= getAngles[0.7]

Out[90]= {0.775397, 2.3662}

In[92]:= {#, Sin[#]} & /@ getAngles[0.7, {0, 4 Pi}]

Out[92]= {{0.775397, 0.7}, {2.3662, 0.7}, {7.05858, 0.7}, {8.64938, 0.7}}

Answer 3

你做不到。正如您将充分了解的那样，ArcSin是Sin函数的反函数，它在[0,2 Pi]范围内不是双射的。此范围中的某些x值会产生相同的Sin值（例如，Sin [3/4 [Pi]] == Sin [1/4 [Pi]]），因此您无法撤消此过程

你可以在绘图中得到的最接近的东西是：

ParametricPlot[{Sin[x], x}, {x, 0, 2 \[Pi]},
   Ticks -> {Automatic, (Range[0, 8] \[Pi]/4)}]
]

[http://i.stack.imgur.com/Jcqxy.png“＆GT;