找到最小的重叠作业集

Question

一位朋友给了我一个谜题，他说可以比O（n ^ 3）时间更好地解决。

给定一组n个作业，每个作业都有一个设定的开始时间和结束时间（重叠是非常可能的），找到每个作业包含该作业的最小子集，或者包括与该作业重叠的作业。 / p>

我非常确定最佳解决方案是选择具有最多未标记重叠的作业，将其添加到解决方案集，然后标记它及其重叠。并重复，直到所有工作都被标记 确定哪个作业具有最多未标记的重叠是一个简单的邻接矩阵（O（n ^ 2）），每次选择作业时都必须重做，以便更新标记，使其成为O（n ^ 3） ）。

有更好的解决方案吗？

Answer 1

让A成为我们尚未重叠的作业集。

1. 在x中找到具有最小结束时间（A）的作业t。
2. 从开始时间小于t的所有工作：选择具有最长结束时间的工作j。
3. 将j添加到输出集。
4. 从j删除所有与A重叠的作业。
5. 重复1-4，直到A为空。

一个简单的实现将在O（n ^ 2）中运行。使用interval trees，可能可以在O（n * logn）中解决。

为什么它是最佳解决方案（不是正式证明）背后的基本思想：我们必须选择一个开始时间小于t的工作，以便x重叠。如果我们让S成为开始时间小于t的所有作业的集合，则可以显示j将与S中的任何作业重叠相同的作业，加上可能更多。由于我们必须在S中选择一项工作，因此最佳选择是j。我们可以利用这个想法通过对工作数量的归纳来形成证据。

Answer 2

我们可以使用动态编程方法实现O（nlogn）解决方案。特别是，我们要考虑最小集合的大小，包括k ^th 作业，并匹配第一个k作业（按开始时间排序），我们用{{1}表示}。我们首先应该添加一个辅助作业（∞，∞），因此结果将是我们最终作业的DP解决方案减去一个。

要计算S(k)，请考虑作业S(k)，该作业在作业p(k)之前结束，但具有最长的开始时间。请注意k是一个增加的函数。 p将S(k)与S(i)最低end(i) > start(p(k))。

我们可以通过维持（S(k)有序最小）潜在工作堆来有效地找到这份工作。在计算每个S(k)之后，我们将作业添加到堆中。当我们想要找到一份工作时，我们会在堆的基础上删除过早结束的工作，直到找到合适的工作。这将最多花费O（nlogn），因为我们最多只执行每个堆操作的O（n）（pop / peek / push）。

剩下的任务是有效地计算p(k)值。一种方法是迭代所有工作的开始和结束（以增加的时间），跟踪最新的起始工作。