找到重叠间隔的最小子集

Question

考虑一个问题来找到区间图的最小支配集。在区间调度的上下文中，它被转换为以下问题：

有多个间隔可能相互重叠或相互重叠。 找到区间的最小子集，以便对于未包含在子集中的每个区间，它将在子集中找到至少1个与其重叠的区间。

互联网上各种来源都有一个商定的贪婪解决方案，例如康奈尔的一个解决方案： http://www.cs.cornell.edu/Courses/cs4820/2011sp/handouts/samplesolutions.pdf

  

我们努力填补组成委员会的集合C（委员会的子集）   间隔）。我们使用集合M来保持“覆盖”间隔   簿记。

     

  
1. 首先按照最早完成时间的结束时间对间隔进行排序。
  
2. 在最早的完成时间内以S的间隔拍摄。
  
3. 构造集O = {s∈S| s intersects i}
  
4. 使用最后完成时间的o∈O并将o添加到C，将与o相交的所有区间添加到M
  
5. 重复2-4，直到覆盖所有间隔。
  

这类似于2012年interjay在SO上提出的投票答案： Find the smallest set of overlapping jobs

但我注意到一个反例证明上述解决方案不会产生最小的子集：

考虑区间：[0,2]，[1,4]，[3,10]，[5,6]，[7,8]，[9,10]。

最小子集应该有2个区间：[3,10]加上[0,2]或[1,4]。

但上述解决方案将返回4个区间的子集：[1,4]，[5,6]，[7,8]和[9,10]。在步骤4中，最长的间隔[3,10]过早被拒绝。

是否有比上面发布的更好的贪心解决方案？谢谢！

Answer 1

您引用的算法不正确，因为集合S永远不会更改，因此在步骤2中将始终选择相同的间隔，您将进入无限循环。如果您将步骤2更改为＆＃34;请在S-M中使用最早完成时间的间隔i。＆＃34;，这将是正确的。

但是，您链接的

My answer是正确的。它和上面的校正算法都会为你的例子提供集{[1,4]，[3,10]}。

您所犯的错误可能是在上面的第3步（或我的链接答案中的第2步）中，您只查看S-M中的集合（在我的答案中称为A）。但你应该看看与i相交的所有区间，即使它们已经在M中。