这种语言是否可判定？

Question

我在努力判断这是否可判：

A = {x是自然数|的集合的元素对于大于x的每个y，2y是两个素数之和}

我倾向于认为这是可判定的，因为当它被送入图灵机时，它将永远不会达到接受状态并且无限循环，除非它拒绝。但是，我也知道，对于一种可以判断的语言，必须只有一种算法来决定它;我们不一定要知道它是如何完成的。有了这个，我的一部分认为它是可判定的吗？有谁知道如何证明？

Answer 1

这种语言是可判定的，虽然证据有点邪恶。

首先，让我们考虑一下这种语言的属性。显然，如果n是语言中包含的自然数，那么每个大于n的数字也都在语言中。因此，这种语言有三种可能的形式：

1. 此语言包含所有自然数字，或
2. 此语言不包含自然数，或
3. 此语言包含大于某个自然数n的所有自然数。

语言（1）和（2）分别是{0,1} *和空语言，两者都是可判定的（因此有些TM总是停止接受这些语言）。形式（3）的每种语言也是可判定的，因为对于任何n，我们都可以很容易地编写一个带有n硬编码的TM，它只检查输入是否至少为n。因此，无论哪种情况属实（1,2或3），都存在一些TM，它总是停止其语言是您提供的语言，因此您的语言是可判定的。

但是说，这个证据是非建设性的。我们可以证明语言必须是可判定的，但我们实际上找不到总是停止接受它的TM！事实上，没有人知道它是哪个TM，因为Goldbach's Conjecture（每个偶数大于2是两个素数之和）是数学中的一个开放问题。

希望这有帮助！