`L1`和`L2` decidable ==＆gt; `INTERLACE(L1, L2)`可判定的

Question

如果L1和L2是语言，我们有一种新语言

INTERLACE(L1, L2) = {w1v1w2v2 . . . wnvn | w1w2 . . . wn ∈ L1, v1v2 . . . vn ∈ L2}.

例如，如果abc ∈ L1和123 ∈ L2，则a1b2c3 ∈ INTERLACE(L1, L2)

如何证明INTERLACE是：

我知道如何显示这种语言是正常的。对于可判定的我不太确定..

这就是我的想法：

要显示在操作INTERLACE下关闭可判定语言的类需要显示如果A和B是两种可判定语言，那么可以找到INTERLACE语言是否可判定的方法。假设分别由A，B可判定语言和M1，M2两个TM决定。

我想我必须说如何构建识别语言的DFA？

Answer 1

来自Wikipedia的引文：

递归（也是 decidable ）语言的概念有两个等效的主要定义：
...... 2.递归语言是一种形式语言，其中存在图灵机，当呈现任何有限输入字符串时，如果字符串在语言中则停止并接受，否则停止和拒绝。

使用此定义：

如果L1和L2是可判定的，则存在算法（或图灵机）M1和M2，以便：
- M1接受所有输入w ∈ L1并拒绝所有输入w ∉ L1。
- M2接受所有输入v ∈ L2并拒绝所有输入v ∉ L2。
现在让我们构建算法M，接受所有输入x ∈ INTERLACE(L1, L2)并拒绝所有输入x ∉ INTERLACE(L1, L2)，如下所示：
- 给出输入x1 x2 .. xn。
- 如果n为奇数，则拒绝输入，否则（n为偶数）：
- 为输入M1运行x1 x3 x5 .. xn-1。如果M1拒绝此输入，则M拒绝其输入并完成，否则（M1接受其输入）：
- 为输入M2运行x2 x4 x6 .. xn。如果M2拒绝此输入，则M拒绝其输入，否则M接受其输入。

可以很容易地证明M是INTERLACE(L1, L2)的决策算法，因此，语言是可判定的。

`L1`和`L2` recognizable ==＆gt; `INTERLACE(L1, L2)`可识别的

来自Wikipedia的引文：

递归可枚举（也是可识别的）语言有三种等效定义：
...... 3.递归可枚举语言是一种形式语言，其中存在图灵机（或其他可计算函数），当呈现语言中的任何字符串作为输入时将暂停和接受，但是当呈现时可以停止和拒绝或循环。不在语言中的字符串。将此与递归语言进行对比，后者要求图灵机在所有情况下都停止。

该证明非常类似于“可判定”财产的证明。

如果L1和L2可识别，则存在算法R1和R2，以便：
- R1接受所有输入w ∈ L1并拒绝或永久循环所有输入w ∉ L1。
- R2接受所有输入v ∈ L2并拒绝或永久循环所有输入v ∉ L2。
让我们构建算法R，接受所有输入x ∈ INTERLACE(L1, L2)并拒绝或永久循环所有输入x ∉ INTERLACE(L1, L2)：
- 给出输入x1 x2 .. xn。
- 如果n为奇数，则拒绝输入，否则（n为偶数）：
- 为输入R1运行x1 x3 x5 .. xn-1。如果R1永远循环，那么R也会永远循环（“自动”）。如果R1拒绝此输入，则R会拒绝其输入并完成，否则（如果R1接受其输入）：
- 为输入R2运行x2 x4 x6 .. xn。如果R2永远循环，那么R也会永远循环。如果R2拒绝此输入，则R拒绝其输入，否则R接受其输入。

P.S。你几乎就在那里，实际上;）