以下内容基于Sipser证明

Question

我正在通过Sipser讨论计算理论介绍中的停止问题的证据，我的主要关注点是下面的证据：

如果TM M不知道它何时循环（它不能接受或拒绝这就是为什么TM对所有字符串都是图灵可识别的），那么决策者H怎么能决定M是否可能在循环中？当TM D进行处理时，同样的问题将继续存在。

the halting problem is undecideable

Answer 1

在阅读本文并尝试可视化证明之后，我想出了这段代码，这是this answer中相关问题代码的简化版本：

function halts(func) {
  // Insert code here that returns "true" if "func" halts and "false" otherwise.
}

function deceiver() {
  if(halts(deceiver))
    while(true) { }
}

如果halts(deceiver)返回true，deceiver将永久运行，如果它返回false，deceiver将停止，这与{halts的定义相矛盾1}}。因此，函数halts是不可能的。

Answer 2

这是一个“矛盾的证明”，一个 reductio ad absurdum 。（拉丁短语在理论课上总是很好......当然，只要它们有意义。）

这个程序 H 只是一个带有两个输入的程序：一个表示某个机器程序的字符串和一个输入。出于证明的目的，您只需假设程序H是正确的：如果M接受 w ，它只是将停止并接受。你不需要考虑如何它会这样做;事实上，我们即将证明它不能，没有这样的程序 H 可以存在，......

因为的

如果存在这样的程序，我们可以立即构建 H 无法决定的另一个程序 H'。但是，根据这个假设，没有这样的程序： H 可以决定一切。因此，我们不得不得出结论，我们定义的 H 是不可能的。

顺便说一句， reductio 证明方法比您预期的更具争议性，考虑其使用频率，特别是在计算机科学中。发现它有点奇怪，你不应该感到尴尬。这个神奇的术语是“非建设性的”，如果你真的有野心，可以向你的一位教授询问Errett Bishop对非建设性数学的批评。

Answer 3

以下内容基于Sipser证明

我花了两年时间创建（完全可操作的）x86utm 操作系统，以使用用 C 编写的暂停决策程序具体解决暂停问题。这个部分暂停决策程序调用 x86 模拟器以在调试步骤模式下执行其输入。输入是转换为 32 位无符号整数的 x86 函数的机器地址。

在模拟每条 x86 指令后，它会立即检查此输入的完整执行跟踪。一旦部分停止决策器识别出非终止行为模式，它就会中止模拟并报告未停止。

#define u32 uint32_t  

int D(u32 P)   // P is a machine address
{
  if ( H(P, P) ) 
    return 0   // reject when H accepts
  return 1;    // accept when H rejects
} 

int main() 
{   
  H((u32)D, (u32)D ); 
}

当 H 是一个模拟暂停决策者时，H(D,D) 拒绝其输入作为暂停计算，因为 H(D,D) 指定了对 H 的无限嵌套模拟，除非 H 中止其对 D(D) 的模拟。

_D()
[00000cd0](01)  55                      push ebp
[00000cd1](02)  8bec                    mov ebp,esp
[00000cd3](03)  8b4508                  mov eax,[ebp+08]
[00000cd6](01)  50                      push eax
[00000cd7](03)  8b4d08                  mov ecx,[ebp+08]
[00000cda](01)  51                      push ecx
[00000cdb](05)  e800feffff              call 00000ae0
[00000ce0](03)  83c408                  add esp,+08
[00000ce3](02)  85c0                    test eax,eax
[00000ce5](02)  7404                    jz 00000ceb
[00000ce7](02)  33c0                    xor eax,eax
[00000ce9](02)  eb05                    jmp 00000cf0
[00000ceb](05)  b801000000              mov eax,00000001
[00000cf0](01)  5d                      pop ebp
[00000cf1](01)  c3                      ret
Size in bytes:(0034) [00000cf1]

_main()
[00000d00](01)  55                      push ebp
[00000d01](02)  8bec                    mov ebp,esp
[00000d03](05)  68d00c0000              push 00000cd0
[00000d08](05)  68d00c0000              push 00000cd0
[00000d0d](05)  e8cefdffff              call 00000ae0
[00000d12](03)  83c408                  add esp,+08
[00000d15](02)  33c0                    xor eax,eax
[00000d17](01)  5d                      pop ebp
[00000d18](01)  c3                      ret
Size in bytes:(0025) [00000d18]

===============================
...[00000d00][00101730][00000000](01)  55                      push ebp
...[00000d01][00101730][00000000](02)  8bec                    mov ebp,esp
...[00000d03][0010172c][00000cd0](05)  68d00c0000              push 00000cd0
...[00000d08][00101728][00000cd0](05)  68d00c0000              push 00000cd0
...[00000d0d][00101724][00000d12](05)  e8cefdffff              call 00000ae0
Begin Local Halt Decider Simulation at Machine Address:cd0
...[00000cd0][002117d0][002117d4](01)  55                      push ebp
...[00000cd1][002117d0][002117d4](02)  8bec                    mov ebp,esp
...[00000cd3][002117d0][002117d4](03)  8b4508                  mov eax,[ebp+08]
...[00000cd6][002117cc][00000cd0](01)  50                      push eax
...[00000cd7][002117cc][00000cd0](03)  8b4d08                  mov ecx,[ebp+08]
...[00000cda][002117c8][00000cd0](01)  51                      push ecx
...[00000cdb][002117c4][00000ce0](05)  e800feffff              call 00000ae0
...[00000cd0][0025c1f8][0025c1fc](01)  55                      push ebp
...[00000cd1][0025c1f8][0025c1fc](02)  8bec                    mov ebp,esp
...[00000cd3][0025c1f8][0025c1fc](03)  8b4508                  mov eax,[ebp+08]
...[00000cd6][0025c1f4][00000cd0](01)  50                      push eax
...[00000cd7][0025c1f4][00000cd0](03)  8b4d08                  mov ecx,[ebp+08]
...[00000cda][0025c1f0][00000cd0](01)  51                      push ecx
...[00000cdb][0025c1ec][00000ce0](05)  e800feffff              call 00000ae0
Local Halt Decider: Infinite Recursion Detected Simulation Stopped 
...[00000d12][00101730][00000000](03)  83c408                  add esp,+08
...[00000d15][00101730][00000000](02)  33c0                    xor eax,eax
...[00000d17][00101734][00100000](01)  5d                      pop ebp
...[00000d18][00101738][00000058](01)  c3                      ret
Number_of_User_Instructions(23)
Number of Instructions Executed(23826)

这个证明，停止问题是不可判定的，如何工作？

3 个答案:

以下内容基于Sipser证明