平面图中的小循环查找

Question

我有一个几何无向planar graph，这是一个图表，其中每个节点都有一个位置，没有2个边交叉，我想找到没有边穿过它们的所有周期。

这个问题是否有任何好的解决方案？

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我打算做的是一种A*类似解决方案：

• 将最小堆中的每个边插入路径
• 使用每个选项
扩展最短路径
• 剔除路径，回路到其他路径（可能不需要）
• 使用ang给定边缘的第三个剔除路径

有没有人看到这个问题？它会工作吗？

Answer 1

我的第一直觉是使用类似于wall following迷宫求解器的方法。本质上，跟随边，并始终从顶点取出最右边。您使用此方法遇到的任何循环都将是面的边界。您必须跟踪您在哪个方向上经过的边缘。一旦你在两个方向上遍历了一条边，你就已经确定了它所分离的面。一旦在两个方向上遍历了所有边，您就可以通过边界识别所有面。

Answer 2

您称之为“交叉边缘”通常称为chord。因此，你的问题是找到所有无弦循环。

This paper看起来可能有所帮助。

Answer 3

这样做的一个简单方法就是简单地走出去并枚举每张脸。原理很简单：

• 我们维护每个边缘的'α访问'和'β访问'标志，以及每个这样的标志的一对双边链接的未访问边缘列表。 'α'和'β'除法应该对应于与所讨论的边缘相对应的线上的平面的分区;哪一侧是α，哪一侧是β是任意的。
• 对于每个顶点V：
  • 对于每对相邻的边E =（V_1，V），E'=（V_2，V）（即按角度排序，取相邻对，以及第一个+最后一个）：
  • 确定E（S =α或β）V_2的哪一侧S位于其上。
  • 使用E的S侧，从V开始走瓷砖，如下所述：

通过以下方式执行操作：

• 设V = V_init
• 循环：
  • V_next = E的顶点不是V
  • E'=来自V_next的E的相邻边缘，位于E
  的当前一侧
  • S'=包含V
  的E'侧
  • 如果V_next = V，我们找到了一个循环;记录我们在途中经过的所有边缘，并将这些边对标记为已访问。
  • 如果E'= E（只有一条边），那么我们已经走到了尽头;中止这次散步
  • 否则，让V = V_next，E = E'，S = S'并继续。

我希望这是有道理的;它可能需要一些图解释......