Suppose we E is an nxn matrix where E[i,j] represents the exchange rate from currency i to currency j. (How much of currency j can be obtained with 1 of currency i). (Note, E[i,j]*E[j,i] is not necessarily 1).
Come up with an algorithm to find a positive cycle if one exists, where a positive cycle is defined by: if you start with 1 of currency i, you can keep exchanging currency such that eventually you can come back and have more than 1 of currency i.
I've been thinking about this problem for a long time, but I can't seem to get it. The only thing I can come up with is to represent everything as a directed graph with matrix E as an adjacency matrix, where log(E[i,j]) is the weight between vertices i and j. And then you would look for a cycle with a negative path or something. Does that even make sense? Is there a more efficient/easier way to think of this problem?
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首先，记录汇率（这不是绝对必要的，但这意味着我们可以像往常一样谈论“增加长度”）。然后，您可以对Floyd-Warshall algorithm进行略微修改，以查找可能非简单路径的长度（即可能多次循环回自身的路径，并且位于不同的位置）每对顶点之间至少与它们之间最长的简单路径一样长。唯一需要做的更改是翻转比较的符号，以便我们始终查找最长的路径（下面有更多详细信息）。最后，您可以查看所有O（n ^ 2）个顶点u和v，获取每个方向上2条路径长度的总和（从u到v，从v到u）。如果其中任何一个是> 0然后你发现了一个（可能是非简单的）周期，其总体汇率＆gt; 1.总的来说，算法的FW部分占主导地位，使得 O（n ^ 3） - 时间。
通常，尝试使用像FW这样的算法来查找最大 - 权重路径的问题是，它可能将两个共享一个或多个顶点的子路径连接在一起，而我们通常不会想要这个。 （当在没有负循环的图中查找最小 - 长度路径时，这种情况不可能发生，因为这样的路径必然包含可以被移除的正权重循环，因此它永远不会选择最佳。）如果我们正在寻找最大 - 重量简单周期，这将是一个问题;在这种情况下，为了解决这个问题，我们需要为顶点的每个子集考虑一个单独的子问题，这会将时间和空间复杂度推高到O（2 ^ n）。幸运的是，我们只关心找到一些正权重循环，并且很容易看出如果FW找到的路径碰巧多次使用某个顶点，那么它必须包含一个非负重量循环 - 可以被移除（如果它具有重量0），或者（如果它具有重量> 0）本身就是“正确答案”！
如果你关心找到一个简单的循环，这很容易在FW报告的路径长度线性的最后一步中完成（顺便说一句，可能是O（2 ^ | V |） - 如果所有路径都具有正长度，那么所有“最佳”长度将在每个最外层迭代时加倍 - 但这在这里不太可能发生）。取FW结果所暗示的最优路径对（每条路径可以通过常规方式计算，通过保持每个顶点对（i，j）的“最佳前驱”值为k的表，并简单地沿着它走，为每个顶点分配您访问到目前为止的长度的运行总计，直到您到达已经访问过的顶点。此时，要么currentTotal - totalAtAlreadyVisitedVertex > 0，在这种情况下，您刚刚找到的循环具有正重量并且您已完成，或者此差异为0，在这种情况下，您可以从路径中删除与此循环对应的边缘。像往常一样继续。