选择N个包的M，因此总和是K的最小倍数

Question

我在Codechef上看到了这个程序。 每包含一些糖果的N个包。 （例如：1st包含10，2nd包含4，依此类推） 我们必须从中精确选择M个包（M <= N），使得总糖果可被K整除。 如果有多个解决方案，则输出糖果数量最少的解决方案。

我认为它类似于Subset Sum问题，但那是NP难的。因此需要指数时间。

我不想要这个程序的完整解决方案。一种算法将是值得赞赏的。从2天开始思考但无法得到正确的逻辑。

1≤M≤N≤50000，1≤K≤20 每个包中的糖果数量[1,10 ^ 9]

Answer 1

让packets包含原始数据包。

将k分区为p = 1, 2, ..., m个数字>= 1和< k的总和（有O(2^k)个此类分区）。对于每个分区，迭代packets并添加其余模k是分区元素之一的数字，然后从分区中删除该元素。保持最小总和，并更新全局最小值。请注意，如果m > p，您还必须拥有m - p个零。

您可能认为这是O(2^k * n)并且速度太慢，但如果您保留packets，则实际上不必为每个分区迭代num[i] = how many numbers have packets[i] % k == i数组，在这种情况下它变成O(2^k + n)。为了处理最小总和要求，您可以保留num[i] = the list of the numbers that have packets[i] % k == i，这将允许您始终为有效分区选择最小数字。

Answer 2

再次查看http://en.wikipedia.org/wiki/Subset_sum_problem#Pseudo-polynomial_time_dynamic_programming_solution并注意K相对较小。此外，虽然N可以很大，但是所有你关心的涉及N的总和都是答案mod K.所以有一个动态的编程解决方案潜伏在这里，在每一步你有K个可能的值mod K，你保持追踪目前可以达到的这些值。