Question

最近我一直在努力解决以下问题：

给定一个整数数组，找到一个总和至少为k的最小（最短长度）子数组。

显然，这可以在O（n ^ 2）中轻松完成。我能够编写一个算法，在自然数的线性时间内解决它，但我无法弄清楚它是否为整数。

我最近的尝试是：

def find_minimal_length_subarr_z(arr, min_sum):
    found = False
    start = end = cur_end = cur_sum = 0
    for cur_start in range(len(arr)):
        if cur_end <= cur_start:
            cur_end, cur_sum = cur_start, arr[cur_start]
        else:
            cur_sum -= arr[cur_start-1]
        # Expand
        while cur_sum < min_sum and cur_end < len(arr)-1:
            cur_end += 1
            cur_sum += arr[cur_end]
        # Contract
        while cur_end > cur_start:
            new_sum = cur_sum - arr[cur_end]
            if new_sum >= min_sum or new_sum >= cur_sum:
                cur_end -= 1
                cur_sum = new_sum
            else:
                break
        if cur_sum >= min_sum and (not found or cur_end-cur_start < end-start):
            start, end, found = cur_start, cur_end, True
    if found:
        return start, end

例如：

[8, -7, 5, 5, 4], 12 => (2, 4)

然而，它失败了：

[-12, 2, 2, -12, 2, 0], 4

正确的结果是(1, 2)，但算法找不到它。

这完全可以在线性时间内完成（最好是空间复杂度恒定）吗？

Answer 1

这是一个线性时间，也是线性空间。额外的空间来自可以增长到线性尺寸的双端队列。（还有第二个数组可以保持累积总和，但可以很容易地删除。）

from collections import deque
def find_minimal_length_subarr(arr, k):
   # assume k is positive
   sumBefore = [0]
   for x in arr: sumBefore.append(sumBefore[-1] + x)
   bestStart = -1
   bestEnd = len(arr)
   startPoints = deque()
   start = 0
   for end in range(len(arr)):
      totalToEnd = sumBefore[end+1]
      while startPoints and totalToEnd - sumBefore[startPoints[0]] >= k: # adjust start
         start = startPoints.popleft()
      if totalToEnd - sumBefore[start] >= k and end-start < bestEnd-bestStart:
         bestStart,bestEnd = start,end
      while startPoints and totalToEnd <= sumBefore[startPoints[-1]]: # remove bad candidates
         startPoints.pop()
      startPoints.append(end+1) # end+1 is a new candidate
   return (bestStart,bestEnd)

双端队列从左到右保存一系列候选起始位置。关键不变量是双端队列中的位置也按“sumBefore”的增加值排序。

要了解原因，请考虑x和y两个位置，x> y，并假设sumBefore [x]＆lt; = sumBefore [y]。那么x是比y更严格的起始位置（对于以x或更晚结尾的段），所以我们不需要再考虑y。

进一步解释：

想象一个看起来像这样的天真算法：

for end in 0..N-1
   for start in 0..end
      check the segment from start to end

我试图改进内循环，只考虑某些起点而不是所有可能的起点。那么我们何时才能从进一步的考虑中消除一个特定的起点？在两种情况下。考虑两个起点S0和S1，其中S0位于S1的左侧。

首先，如果我们发现S1开始符合条件的段（即，一个段总和至少为k），我们就可以消除S0。这就是第一个while循环所做的，其中start是S0，startPoints [0]是S1。即使我们从S0开始发现一些未来符合条件的段，它也会比我们从S1开始找到的段长。

其次，如果从S0到S1-1的元素之和是＆lt; = 0（或者等效地，如果S0之前的元素之和> = S1之前的元素之和），则可以消除S0。这是第二个while循环所做的，其中S0是startPoints [-1]而S1是end + 1。修剪从S0到S1-1的元素总是有意义的（对于S1或更高的终点），因为它会缩短段而不减少其总和。

实际上，还有第三种情况我们可以消除S0：当从S0到end的距离大于到目前为止发现的最短段的长度。我没有实施这个案例，因为不需要它。

Answer 2

这里有一个伪代码，可以提供您正在寻找的解决方案。

curIndex = 0
while (curIndex <= endIndex)
{
    if(curSum == 0)
    {
        startIndex = curIndex
    }

    curSum = curSum + curVal
    curTot = curTot + 1
    if(curSum >= targetVal AND curTot < minTotSofar)
    { 
        maxSumSofar = curSum
        maxStartIndex = startIndex
        maxEndIndex = curIndex
        minTotSofar = curTot
        if(curTot == 1)
        {
            exit_loop
        }

        curSum = 0
        curTot = 0
        curIndex = startIndex   
    }
    else if(curIndex == endIndex)
    {
        if(maxSumSofar == 0 AND curSum >= targetValue)
        {
                maxSumSofar = curSum
                maxStartIndex = startIndex
                maxEndIndex = curIndex
                minTotSofar = curTot
         }
         else if(curSum < targetValue AND startIndex < endIndex)
         {
                curSum = 0
                curTot = 0
                curIndex = startIndex
         }
    }
    curIndex = curIndex + 1
}

------------ JWPAT7建议后更新

INPUTS：整数数组，索引从0到endIndex。目标值（k）与（targetVal）进行比较。

输出：最终添加所选子集（maxSumSoFar），子集的起始索引（maxStartIndex），子集的结束索引（maxEndIndex），元素总数子集（minTotSofar）。

在线性时间中找到和＆gt; = k的n个整数的最小子阵列

2 个答案: