证明m≤n - > k≤l - > Agda中m +k≤n+ l

Question

我想证明

{m n k l : ℕ} -> m ≤ n -> k ≤ l -> m + k ≤ n + l

在阿格达。 我可以通过以下代码证明m + k ≤ m + l

add≤ : {m n : ℕ} -> (k : ℕ) -> m ≤ n -> k + m ≤ k + n
add≤ zero exp = exp
add≤ (suc k) exp = s≤s (add≤ k exp)

由于我可以证明m + k ≤ m + l，我想证明m + l ≤ n + l。如果我能做到这一点，我将使用我已定义的≤-trans : Transitive _≤_。

我可以用m + l ≤ n + l证明m ≤ n, k ≤ l吗？或者，我是否必须更改计划以使用≤-trans？

Answer 1

它只是

open import Data.Nat
open import Data.Nat.Properties

le : {m n k l : ℕ} -> m ≤ n -> k ≤ l -> m + k ≤ n + l
le {n = n}  z≤n    q = ≤-steps n q
le         (s≤s p) q = s≤s (le p q)