解决mathematica中的双调和方程

Question

我试图用DSolve解决mathematica中的线性双调和方程。我认为这个问题不仅限于双调和方程，而且当我试图解决它时，MATHEMATICA只是吐出了等式。

我已经尝试过解决其他偏微分方程而且没有问题。

双调和方程只是：

Laplacian^2[f]=0

这是我的等式：

DSolve[
 D[f[x, y], {x, 4}] + 2 D[D[f[x, y], {x, 2}, {y, 2}]] + 
   D[f[x, y], {y, 4}] == 0,
 f,
 {x, y}]

解决方案是吐出

DSolve[(f^(0,4))[x,y]+2 (f^(2,2))[x,y]+(f^(4,0))[x,y]==0,f,{x,y}]

这显然不是解决方案。是什么赋予了？我错过了什么？我已经解决了没有边界条件的其他偏微分方法。

Answer 1

如何在极坐标中尝试？如果f(r, \[Theta])相对于方位角\[Theta]是对称的，则双调和方程式会减少到数学可以象征性地解决的问题（c.f。http://mathworld.wolfram.com/BiharmonicEquation.html）：

In[22]:= eq = D[r D[D[r D[f[r],r],r]/r,r],r]/r;
eq//FullSimplify//TraditionalForm

Out[23]//TraditionalForm= f^(4)(r) + (2 r^2 f^(3)(r) - r f''(r)
                           + f'(r))/r^3

In[24]:= DSolve[eq==0,f,r]
Out[24]= {{f -> Function[{r}, 
                 1/2 r^2 C[2] - 1/4 r^2 C[3] + C[4] + C[1] Log[r] 
                   + 1/2 r^2 C[3] Log[r]
                ]}}

In[25]:= ReplaceAll[
    1/2 r^2 C[2]-1/4 r^2 C[3]+C[4]+C[1] Log[r]+1/2 r^2 C[3] Log[r],
    r->Sqrt[x^2+y^2]
]
Out[25]= 1/2 (x^2+y^2) C[2]-1/4 (x^2+y^2) C[3]+C[4]+C[1] Log[Sqrt[x^2+y^2]]+ 
1/2 (x^2+y^2) C[3] Log[Sqrt[x^2+y^2]]