Question

我想在numpy数组Y上数值计算FFT。为了测试，我使用高斯函数Y = exp（-x ^ 2）。（符号）傅立叶变换是Y'=常数* exp（-k ^ 2/4）。

import numpy
X = numpy.arange(-100,100)
Y = numpy.exp(-(X/5.0)**2)

天真的方法失败了：

from numpy.fft import *
from matplotlib import pyplot

def plotReIm(x,y):
    f = pyplot.figure()
    ax = f.add_subplot(111)
    ax.plot(x, numpy.real(y), 'b', label='R()')
    ax.plot(x, numpy.imag(y), 'r:', label='I()')
    ax.plot(x, numpy.abs(y), 'k--', label='abs()')
    ax.legend()


Y_k = fftshift(fft(Y))
k = fftshift(fftfreq(len(Y)))
plotReIm(k,Y_k)

实数（Y_k）在正值和负值之间跳跃，这对应于跳跃阶段，这在符号结果中不存在。这当然是不可取的。（结果在技术上是正确的，因为abs（Y_k）给出了预期的ifft（Y_k）为Y的振幅。）

这里，函数fftshift（）使数组k单调递增并相应地改变Y_k。通过对两个向量应用此操作，不会更改对zip（k，Y_k）。

此更改似乎可以解决问题：

Y_k = fftshift(fft(ifftshift(Y)))
k = fftshift(fftfreq(len(Y)))
plotReIm(k,Y_k)

如果需要单调的Y和Y_k，这是使用fft（）函数的正确方法吗？

以上的反向操作是：

Yx = fftshift(ifft(ifftshift(Y_k)))
x = fftshift(fftfreq(len(Y_k), k[1] - k[0]))
plotReIm(x,Yx)

对于这种情况，documentation明确指出Y_k必须与fft（）和fftfreq（）的输出进行排序兼容，我们可以通过应用ifftshift（）来实现。

这些问题一直困扰着我很长时间：fft（）和ifft（）的输出和输入数组总是a[0] should contain the zero frequency term, a[1:n/2+1] should contain the positive-frequency terms, and a[n/2+1:] should contain the negative-frequency terms, in order of decreasingly negative frequency [numpy reference]，其中'frequency'是自变量？

Fourier Transform of a Gaussian is not a Gaussian上的答案没有回答我的问题。

Answer 1

FFT可以被认为是产生每个具有幅度和相位的设定矢量。 fft_shift操作将相位角为零的参考点从FFT孔径边缘更改为原始输入数据矢量的中心。

当完成此操作时，结果的相位（以及因此复矢量的实部）有时不那么“跳跃”，特别是如果某些输入函数被加窗使得它在FFT孔径的边缘周围是不连续的。或者，如果输入围绕FFT孔径的中心对称，则在fft_shift之后FFT结果的相位将始终为零。

fft_shift可以通过N / 2的向量旋转来完成，或者通过简单地在FFT结果中翻转交替的符号位来完成，这可能对CPU dcache更友好。

Answer 2

fft（和ifft）的输出定义如下：http://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/routines.fft.html#background-information

这是例程计算的内容，不多也不少。观察到离散傅立叶变换与连续傅里叶变换有很大不同。对于密集采样函数，两者之间存在关系，但除了fftshift之外，该关系还涉及相位因子和缩放。这是你在情节中看到的振荡的原因。您可以根据上述DFT的数学公式自行计算出必要的相位因子。

离散傅里叶变换：如何正确使用ffthift与fft

2 个答案: