如何计算离散傅立叶变换？

时间：2014-10-14 05:06:59

标签： algorithm fft complex-numbers dft

我一直试图找一些地方来帮助我更好地理解DFT以及如何计算它但无济于事。所以我需要帮助理解DFT及其复数的计算。

基本上，我只是在寻找有关如何计算DFT的示例，并说明如何计算DFT，因为最后，我希望创建一个算法来计算它。

1 个答案:

答案 0 :(得分：9)

我假设1D DFT / IDFT ......

所有DFT都使用此公式：

DFT equation

  • X(k)是转换样本值（复杂域）
  • x(n)是输入数据样本值（真实或复杂域）
  • N是数据集中的样本数/值数

这整件事通常乘以归一化常数c。正如您所看到的单值，您需要N次计算，因此对于所有样本，O(N^2)都很慢。

此处mine Real<->Complex domain DFT/IDFT in C++您还可以找到有关如何使用1D变换计算2D变换以及如何通过N-point DFT，IDFT计算N-point DCT，IDCT的提示。

快速算法

基于将此等式分别划分为总和的奇数和偶数部分，存在快速算法（其给出{{1 }} sums）每个单值也是2x N/2，但是两半是相同的方程O(N)一些常数调整。所以可以直接从第一个计算出一半。这导致每个值+/-。如果你递归地应用这个，那么每个值得到O(N/2)。所以整个事情变得O(log(N))这很棒，但也增加了这些限制：

所有DFFT都需要输入数据集的大小等于2的幂！

因此可以递归拆分。零填充到最接近的2的较大功率用于无效的数据集大小（在音频技术中有时甚至是相移）。看这里：

复杂数字

  • O(N.log(N))
  • c = a + i*b是复数
  • c是它的真实部分（Re）
  • a是其想象中的部分（Im）
  • b是虚构的单位

所以计算就像这样

<强>此外： 

i*i=-1

<强>乘法： 

c0+c1=(a0+i.b0)+(a1+i.b1)=(a0+a1)+i.(b0+b1)

真实 - ＆gt;复杂转换： 

c0*c1=(a0+i.b0)*(a1+i.b1)
     =a0.a1+i.a0.b1+i.b0.a1+i.i.b0.b1
     =(a0.a1-b0.b1)+i.(a0.b1+b0.a1)

<强> [注释]

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