使用4x4矩阵变换3D平面

Question

我有一个由几个三角形组成的形状，它位于世界空间的某个地方，带有刻度，旋转，平移。我还有一个平面，我想在其上投影（正交）形状。

我可以将形状中每个三角形的每个顶点与对象变换矩阵相乘，以找出它在世界坐标中的位置，然后将此点投影到平面上。

但是我不需要绘制投影，而是想用形状的逆变换矩阵变换平面，然后将所有顶点投影到（逆变换）平面上。因为它只需要我一次转换平面而不是每个顶点。

我的飞机有一个法线（xyz）和一个距离（d）。如何将它与4x4变换矩阵相乘以使其结果正常？

你能创建一个vec4作为xyzd并乘以它吗？或者可以创建一个向量xyz1，然后创建d？

Answer 1

您需要将您的飞机转换为不同的表示。一个 N 是正常的， O 是飞机上的任何一个点。你已经知道的正常，这是你的（xyz）。飞机上的一个点也很容易，你的正常 N 乘以你的距离 d 。

以正常方式通过4x4矩阵转换 O ，这将成为您的新 O 。你需要一个Vector4乘以4x4矩阵，将W分量设置为1（x，y，z，1）。

也用4x4矩阵变换 N ，但将W分量设置为0（x，y，z，0）。将W分量设置为0意味着您的法线不会被翻译。如果您的矩阵由更多只是平移和旋转组成，那么这一步就不那么简单了。你必须乘以矩阵的逆的转置，而不是乘以转换矩阵，而不是Matrix4.Transpose(Matrix4.Invert(Transform))，这里有一个很好的解释为什么{{ 3}}

您现在有一个新的法线向量 N 和一个新的位置向量 O 。但是我想你又想要它以xyzd的形式出现？没问题。和以前一样，xyz是你的正常 N 所剩下的就是计算d。 d是平面与原点之间沿法线向量的距离。因此，它只是 O 和 N 的点积。

你有它！如果你告诉我你正在使用哪种语言，我也很乐意在代码中输入它。

编辑，伪代码：

该平面为vector3 xyz和number d，矩阵为matrix4x4 M

vector4 O = (xyz * d, 1)
vector4 N = (xyz, 0)
O = M * O
N = transpose(invert(M)) * N
xyz = N.xyz
d = dot(O.xyz, N.xyz)

xyz和d代表新的飞机

Answer 2

这个问题有点陈旧，但我想纠正接受的答案 您无需转换平面表示。

如果
，任何点都位于平面上 它可以写成点积：

您正在寻找由您的4x4矩阵转换的平面 出于同样的原因，您必须拥有

所以以及一些安排

TLDR ：如果p=(a,b,c,d)，p' = transpose(inverse(M))*p

Answer 3

<强>符号：

• n是表示为（1x3）行向量
的法线
• n'是根据变换矩阵T
的n的变换法线
• (n|d)是一个平面，表示为（1x4）行向量（n平面的法线和d平面到原点的距离）
• (n'|d')是(n|d)根据变换矩阵T
的变换平面
• T是（4x4）（仿射）列 - 主变换矩阵（即，将列矢量t变换为t' = T t）。

转换普通n ：

n' = n adj(T)

转换平面（n | d）：

(n'|d') = (n|d) adj(T)

这里， adj 是矩阵的附属物，根据矩阵的逆和行列式定义如下：

T^-1 = adj(T)/det(T)

注意：

• 附件通常不等于变换矩阵T的倒数。如果T包含反射，则det（T）= -1，反转缠绕顺序！

• 重新规范化n'在数学上不是必需的（但可能在数值上取决于实现），因为缩放由决定因素处理。 感谢Adrian Leonhard。< /强>

• 您可以直接转换平面，而无需先拆分和重新组合平面（法线和点）。