Question

我注意到mathematica扼杀了某些定积分，但是如果我进行了一个无限积分并减去了所得函数的极限值，它就会给我一个答案。

是否有不同的算法来计算确定和不定积分？是否有某些原因上述程序不是由Mathematica手动完成的？

示例：

正如评论中的人们要求举例，这里有两个。

Timing[Integrate[(r - c x)/(r^2 + c^2 - (2 r) c x)^(3/2), x]]
Out:={0.010452,(-c+r x)/(r^2 Sqrt[c^2+r^2-2 c r x])}

立即获取输出。虽然，

Integrate[(r - c x)/(r^2 + c^2 - (2 r) c x)^(3/2), {x, -1, 1}]

保持计算并减慢旧电脑的速度。经过一段时间后，它会在很多情况下返回一个不必要的长结果。这是Mathematica 7.这个积分中没有奇点或者遇到复数等等。为了获得该值，让我们中止运行大约一分钟的计算并手动使用fundamental theorem of calculus找到该值。

g = (r - c x)/(r^2 + c^2 - (2 r) c x)^(3/2)
l = Integrate[g, x] /. x -> -1;
u = Integrate[g, x] /. x -> 1;
u - l
Out:= (-c+r)/(r^2 Sqrt[c^2-2 c r+r^2])-(-c-r)/(r^2 Sqrt[c^2+2 c r+r^2])
FullSimplify[%] 
Out:= ((-c+r)/Sqrt[(c-r)^2]+(c+r)/Sqrt[(c+r)^2])/r^2

这实际上是正确的。最后，为了完整性，让我们比较定积分的输出和时间：

Timing[Integrate[(r - c x)/(r^2 + c^2 - (2 r) c x)^(3/2), {x, -1, 
   1}]]
Out:= {174.52,If[(Re[c/r+r/c]>=2||2+Re[c/r+r/c]<=0||c/r+r/c\[NotElement]Reals)&&((Im[r] Re[c]+Im[c] Re[r]<=0&&((Im[c]+Im[r]) (Re[c]+Re[r])>=0||Im[c]^3 Re[r]+Im[r] Re[c] (Im[r]^2-Re[c]^2+Re[r]^2)>=Im[c] (Im[c] Im[r] Re[c]+Re[r] (Im[r]^2 ... blah blah half a page

注意三分钟的计算时间和非常困惑的答案。

我的工作中的一个实际例子，我注意到它并且在截止日期提交后忘记了它，直到今天我再次遇到同样的问题。

f = 1/((-I c + k^2/2 - 1/2 (a + k)^2) (I d + k^2/2 - 
    1/2 (-b + k)^2)) + 1/((I c + k^2/2 - 1/2 (-a + k)^2) (I c + I d + 
    k^2/2 - 1/2 (-a - b + k)^2)) + 1/((I d + k^2/2 - 
    1/2 (-b + k)^2) (I c + I d + k^2/2 - 
    1/2 (-a - b + k)^2)) + 1/((I c + k^2/2 - 1/2 (-a + k)^2) (-I d + 
    k^2/2 - 1/2 (b + k)^2)) + 1/((-I c + k^2/2 - 
    1/2 (a + k)^2) (-I c - I d + k^2/2 - 
    1/2 (a + b + k)^2)) + 1/((-I d + k^2/2 - 1/2 (b + k)^2) (-I c - 
    I d + k^2/2 - 1/2 (a + b + k)^2))

当我尝试定积分时，我等了几个小时后等了（真的！）我终于决定尝试一下有效的解决方法：

fl =  Integrate[f, k] /. k -> -1 ;
fu =  Integrate[f, k] /. k -> 1 ;
F = fu - fl;
F1 = F /. {a -> .01, c -> 0, d -> 1};

请注意我不是在谈论奇点，正如一条评论所暗示的那样。 Integrate[1/x, {x, -1, 1}]几乎立即返回Integrate::idiv: Integral of 1/x does not converge on {-1,1}. >>，这是一个非常合理的输出。

Answer 1

我认为Daniel在上面的评论中是正确的：“最有可能的是，明确的集成代码正在检查集成路径上的奇点”

看看：

Timing@Integrate[(r - c x)/(r^2 + c^2 - (2 r) c x)^(3/2), {x, -1, 1}]

Result -> None, I got bored waiting and aborted the calc

while：

Timing@Integrate[(r - c x)/(r^2 + c^2 - (2 r) c x)^(3/2), {x, -1, 1}, Assumptions -> {r ∈ Reals && c ∈ Reals && c != r && c != -r}]



->{3.688, (-Sign[c - r] + Sign[c + r])/r^2}

->{3.688, (-Sign[c - r] + Sign[c + r])/r^2}

因此，您需要为常量指定哪些条件。

Simon的评论中提出了另一种方式：

最后，你也可以这样做：

Timing@Integrate[(r - c x)/(r^2 + c^2 - (2 r) c x)^(3/2), {x, -1, 1},  
                 GenerateConditions -> False]

{10.375, ((-c + r)/Sqrt[(c - r)^2] + (c + r)/Sqrt[(c + r)^2])/r^2}

Answer 2

Belisarius回答了这个问题。我只想对评论中的含义以及它如何应用于此示例有所了解。

被积函数中的分母清楚地表明，如果r和c是实数，正数和r，我们就会遇到问题

In[1]:= InputForm[Timing[Integrate[(r - c*x)/(r^2 + c^2 - 2*r*c*x)^(3/2),
  {x, -1, 1}, Assumptions->r>c>0]]]
Out[1]//InputForm= {2.33, 2/r^2}

如果没有有用的假设，Integrate可能需要花费大量时间来梳理好行为和坏行为的区域。引擎盖下的技术令人生畏（不平等处理可以这样）。也许并非所有地方都以最有效的方式应用。

可在

找到更多信息

http://library.wolfram.com/infocenter/Conferences/5832/

或

http://dl.acm.org/citation.cfm?doid=2016567.2016569

Daniel Lichtblau

Mathematica中确定与不定积分的区别？

2 个答案: