Question

我刚刚在Cormen的算法书中读到，大O和大欧米茄不遵循三分法属性。这意味着对于f(n)和g(n)两个函数，可能是f(n) = O(g(n))和f(n) = Omega(g(n))都不成立。在示例中，他们认为如果函数是n^(1+sin n)而不是可能。

虽然它是正确的，但在现实世界算法中，可能会有sin n之类的运行时间。因为随着输入大小的增加，它有时会减少。有没有人知道任何这样的算法，或者可以提供一个小代码片段来做到这一点。

感谢您的答案，所以在这种情况下假设给定一个大小为n的问题P，如果它不能通过任何已知算法在O（f（n））时间内求解，那么下限是正确的P是欧米茄（f（n））。

Answer 1

当搜索的字符串变得更长时，Boyer-Moore字符串搜索算法变得更快。当然，限制因素通常是在中搜索的字符串的长度。

Answer 2

随着条款与变量的比率增加，随机生成的3CNF条款的SAT平均运行时间最终会下降。直觉是当相对于变量数量有很多条款时，公式更可能“明显地”不可满足;也就是说，典型的SAT求解算法（比穷举搜索更好的一步或两步，但足够简单以涵盖本科逻辑课程）很快就会出现矛盾并停止。

当然，这些是对“随机”3CNF公式的一些概念的实验观察。我不确定人们已经证明了这一点。

Answer 3

使用任何反函数。

f(x) -> 1 / x
f(x) -> 1 / x²
f(x) -> 1 / log(x)

随着输入x的增长，结果值将变小。将较小的值与算法中较少数量的步骤相关联是相当简单的。只需在循环中使用计数器即可移向该数字。

这是一个简单的算法。

function(x) {
    step = 0.001
    y = 1 / x;
    for (i = 0; i < y; i += step) { /* do something awesome here */ }
}

Answer 4

我难以设想一个有意义的问题，降低复杂性。 “有意义”的问题需要阅读或触摸其所有输入的部分内容。除非输入以非常低效的方式编码，否则处理它应该花费越来越多的时间。

但是，它可能会朝着不变的方向增加。