减少到足以证明NP完全还是需要转换？

Question

如果我有决定问题A，并希望证明它是NP完全的。是否足以证明另一个NP完全问题多项式地减少到A，或者我必须证明另一个NP完全问题多项式转换为A？

也就是说，我可以显示

procedure solve_SAT
...
call solve_A
call solve_A
call solve_A
...
end

或者我只限于使用solve_A，如图所示

procedure solve_SAT
input  = ...
result = call solve_A(input)
return result
end

我发现一些消息来源说前者，而其他消息来源说后者，这对我来说有点混乱。

Answer 1

假设您有一个决策问题A，并且您希望证明它是NP-Complete，那么实现它的方法是，采用现有的NP-Complete问题并将其减少到A. 这里减少的意思是多项式时间减少。

所以假设你想表明3-SAT是NP-Complete，那么你可以显示SAT问题的减少。

这里要注意的重要一点是减少必须是多时间。是否多次调用solve_A（）并不重要。只要您对solve_A（）进行多项式调用，就可以选择多次调用solve_A（）。

为什么会这样？你可以通过矛盾来证明这一点。 假设你有一个3SAT的多时间算法。那么你也可以在多时间解决SAT问题。由于对多项式函数的多项式数量的调用仍然是多项式的。 因此，除非P = NP，否则这意味着SAT也可以使用新发现的3SAT多时间算法在多项式时间内求解。但我们知道SAT是NP-Complete，因此3SAT也必须是NP-Complete。

简而言之，为了展示NP-Completeness，需要做两件事。

证书的存在。 从现有的NP-Complete问题中减少。

Answer 2

如果你的solve_SAT程序只使用一定数量的solve_A调用，那么A的多项式时间算法就意味着SAT的多项式时间算法。这不符合SAT的确切定义，但这意味着除非P = NP，否则不存在A的多项式时间算法。

Answer 3

今天确定的NP完全性的定义是，需要从已知NP完全问题到您的问题的多项式多次或Karp减少来显示NP完全性。这也称为多项式变换，对应于您只能调用一次solve_A函数的示例。

您的另一个示例，您可以在其中调用solve_A，多项式次数对应于图灵或库克减少。从NP完全问题到你的问题的图灵减少的存在证明了你的问题的NP-硬度，这被认为是与NP完全性不同的属性。