Question

给定0-1平方矩阵，我们可以选择1的方式，使每行和每列只包含一个1？

我为此问题实现了以下回溯代码：

    int countways(int A[][], int& n, int row, vector<bool> columnselected ) {
         if(row == n)
              return 1;
         int result = 0;
         for( j = 0; j < n ; ++j) {
              if(A[row][j]) {
                   if(!columnselected[j]) {
                        columnselected[j] = true;
                        result+ = countways(A, n, row+1, columnselected);
                        columnselected[j] = false;
                   }
               }
         }
         return result;
     }

这绝对不是解决此问题的最佳方法。我无法使用memoized版本的递归来增强解决方案，因为columnselected和每次调用递归的行对于每个子问题都是唯一的。

请提出一个更好的方法来解决这个问题，更像是一个动态编程解决方案，比这个明显的解决方案更有效。

Answer 1

此问题相当于查找perfect matchings的bipartite graph个数。取NxN矩阵，为每一行创建一个顶点，为每列创建一个顶点（2N顶点）。如果矩阵在相应的行和列中包含“1”，则在行顶点和列顶点之间添加边。这形成了二分图。请注意，在此图中找到完美匹配等同于选择“1，使得每行和每列只包含一个1”。

来自Wikipedia：

确定给定的完美匹配数量的问题图是#P Complete（见Permanent）。然而，一个非凡的定理 Kasteleyn表示平面中完美匹配的数量可以通过FKT在多项式时间内精确计算图形算法。此外，对于二分图，问题可能是近似在多项式时间内求解。[8]也就是说，对于任何ε> 0，有一个概率多项式时间算法确定，很有可能，一个完美匹配的数量错误最多εM。

注意：您可以在多项式时间内确定答案是否为零。

因此，完美的多项式时间解决方案是不可能的，但是我们可以使用memoization改进函数的渐近运行时（从O（N * N！）到O（N * 2 ^ N））。只有“columnselected”变量需要“备忘录”。（将“columnselected”更改为位掩码整数而不是向量也应该提高性能并实现更简单的方法）。

Answer 2

我担心你最好的办法是修改Knuth的算法X，在http://en.wikipedia.org/wiki/Exact_cover中有更详细的解释。关键是使用算法X中使用的类似数据结构。

我很确定你所描述的问题等同于精确覆盖，这使得NP完全。因此，没有“有效”的解决方案，但算法X在实践中是可以的。

Answer 3

如果我正确理解你的问题，这个问题与每列的独特排名是否相同？例如，如果[p，q]处有1，则表示第q列被分配了等级p。

因此对于NxN矩阵，解决方案应为N！（N的阶乘）

你也可以使用感应P（N）= n * P（N-1），因为当你在NxN矩阵中放置一个1时，行和列被它阻挡 - 所以你留下了一个（ N-1）x（N-1）矩阵。

编辑：我对这个问题的理解是不正确的。但这是动态编程方法的新尝试

让我们首先创建一个DAG：该图的节点是正方形平方（p，q，大小） - 方形锚定在行= p，col = q，大小为x大小的元素。是的，他们可以环游。为了简化计算，让q总是等于0。

对于矩阵{{abc}，{def}，{ghi}}，节点将

{a}，{d}，{g}：大小为1的正方形：根节点

{ab，de}，{de，gh}，{gh，ab}：大小为2的正方形

{{abc}，{def}，{ghi}}：只有大小为N的正方形，即矩阵本身：叶节点

定向边指向大小为n到n + 1的正方形，如果小正方形可以包含在较大的正方形中。例如{d}指向{ab，de}和{de，gh} 重要提示：尺寸n和尺寸n + 2正方形之间不能有任何边缘

<强>穿越

基础：将权重分配给大小为1的正方形：正方形（p，0,1）= 1 iff M（p，0）== 1

步骤：对于大小为N的正方形，请访问它的子节点，即大小为N + 1的正方形。如果孩子成长的角落为1，则给孩子自己的重量，否则不要。

叶子节点会有你的答案。

此解决方案基本上是遍历的自下而上的方法，它将避免重复计算子问题。

动态编程问题，在0-1矩阵中选择1，使每行和每列只包含一个1

3 个答案: