为什么0/1背包的动态编程？

Question

我查看了许多资源以及this问题，但我仍然困惑为什么我们需要动态编程来解决0/1背包？

问题是：我有N个项目，每个项目的值为Vi，每个项目的权重为Wi。我们有一个总重量为W的袋子。如何选择项目以获得超过重量限制的最佳总值。

我对动态编程方法感到困惑：为什么不计算每个项目的（值/重量）分数，并选择具有最小分数的项目，其重量小于袋子中的剩余重量？

Answer 1

对于基于分数的方法，您可以轻松找到反例。

考虑

W=[3, 3, 5]
V=[4, 4, 7]
Wmax=6

您的方法提供了最佳价值Vopt=7（我们从7/5 > 4/3开始采用最后一项），但是前两项会给我们Vopt=8。

Answer 2

正如其他答案所指出的，你的方法存在边缘情况。

为了更好地解释递归解决方案，也许更好地理解它，我建议你用这个推理来解决它：

对于每个“子包”

1. 如果我们没有拟合元素，则没有最佳元素
2. 如果我们只有一个拟合元素，那么最好的选择就是元素
3. 如果我们有多个拟合元素，我们采用每个元素并计算其“子包”的最佳拟合。最好的选择是最高价值的元素/子包组合。

此算法有效，因为它跨越拟合元素的所有可能组合，并找到具有最高值的组合。

相反，直接解决方案不可能是the problem is NP-hard。

Answer 3

看看这个反例：

Weight 7, W/V pairs (3/10),(4/12),(5/21)

Answer 4

当存在单位比例时，贪婪算法失败。例如，请考虑以下示例：

n = 1 2，P = 4 18，W = 2 18，P / W = 2 1

背包容量= 18

根据贪婪算法，它将考虑第一项，因为它的P / W比率更大，因此总利润将是4（因为它不能在第一项之后插入第二项，因为容量减少到16之后插入第一项）。

但实际答案是18。

因此，有多个极端情况，贪婪无法提供最佳解决方案，这就是我们在0/1背包问题中使用动态编程的原因。