Question

我需要维基百科的一些澄清：Knapsack，部分

因此，该解决方案将在O（nW）时间和O（nW）空间中运行。另外，如果我们只使用一维数组m [W]来存储当前的最优值并且将这个数组传递i + 1次，每次从m [W]重写为m [1]，我们仅获得O（W）空间的相同结果。

我无法理解如何将2D矩阵转换为1D矩阵以节省空间。另外，rewriting from m[W] to m[1] every time意味着什么（或者它是如何工作的）。

请提供一些例子。如果我有{V，W}集合 - > {（5,4），（6,5），（3,2）}，K = 9。

1D阵列怎么样？

Answer 1

我知道这是一个老问题。但是我不得不花一些时间来搜索这个，我只是在这里记录这些方法，供所有人参考。

方法1
使用N行的直接2D方法是：

int dp[MAXN][MAXW];
int solve()
{
    memset(dp[0], 0, sizeof(dp[0]));
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        for(int j = 0; j <= W; j++) {
            dp[i][j] = (w[i] > j) ? dp[i-1][j] : max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);
        }
    }
    return dp[N][W];
}

这使用O（NW）空间。

方法2
第二种方法也是2D，但只使用2行，并将其角色交换为当前和＆amp;上一行。

int dp[2][MAXW];
int solve()
{
    memset(dp[0], 0, sizeof(dp[0]));
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        int *cur = dp[i&1], *prev = dp[!(i&1)];
        for(int j = 0; j <= W; j++) {
            cur[j] = (w[i] > j) ? prev[j] : max(prev[j], prev[j-w[i]] + v[i]);
        }
    }
    return dp[N&1][W];
}

这需要O（2W）= O（W）空间。 cur是第i行，prev是第（i-1）行 方法3
第三种方法使用1D表。

int dp[MAXW];
int solve()
{
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for(int i =1; i <= N; i++) {
        for(int j = W; j >= 0; j--) {
            dp[j] = (w[i] > j) ? dp[j]: max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);
        }
    }
    return dp[W];
}

这也使用O（W）空间，但只使用一行。内部循环必须颠倒，因为当我们使用dp[j-w[i]]时，我们需要来自前一次外循环迭代的值。为此，j值必须以大到小的方式处理。

测试用例（来自http://www.spoj.com/problems/PARTY/）

N = 10, W = 50
w[] = {0, 12, 15, 16, 16, 10, 21, 18, 12, 17, 18} // 1 based indexing
v[] = {0, 3, 8, 9, 6, 2, 9, 4, 4, 8, 9}

回答= 26

Answer 2

在许多动态编程问题中，您将逐行构建一个2D表，其中每一行仅取决于紧接其前面的行。在0/1背包问题的情况下，重复发生（来自维基百科）如下：

m [i，w] = m [i-1，w]如果w _i＆gt;瓦特

m [i，w] = max（m [i - 1，w]，m [i - 1，w - w _i] + v _i）否则

请注意，填充行i时表中的所有读取仅来自第i-1行;表中较早的行实际上并未使用。因此，您可以通过仅存储两行 - 前一行和您正在填充的行来节省2D表中的空间。您可以通过更加巧妙地填写如何将其优化为一行表条目。这减少了从O（nW）（O（n）行和O（W）列）到O（W）（一行或两行和O（W）列）的空间使用。

但这需要付出代价。许多DP算法并没有明确地计算解决方案，而是填写表格，然后在最后通过表格进行第二次传递以恢复最佳答案。如果您只存储一行，那么您将获得最佳答案的值，但您可能不知道最佳答案恰好是什么。在这种情况下，你可以读出你可以装入背包的最大值，但你不一定能够恢复你应该做的事情以达到这个价值。

希望这有帮助！

0/1背包动态编程优化，从2D矩阵到1D矩阵

2 个答案: