离散优化-从分数矩阵的每一行和每一列中准确选择N个项目

Question

给出一个分数矩阵，我想从每一列和每一行中准确选择n个元素，以使整个矩阵中所选元素的总分尽可能高。

示例：给定成本矩阵

array([[0.65500799, 0.79214695, 0.39854742],
       [0.53634974, 0.3682463 , 0.99663978],
       [0.73423119, 0.87150676, 0.80823699]])

n = 1的最佳选择是：

array([[1., 0., 0.],
       [0., 0., 1.],
       [0., 1., 0.]])

该解决方案的总分是0.65500799 + 0.87150676 + 0.99663978

n = 2的最佳选择是：

array([[1., 1., 0.],
       [1., 0., 1.],
       [0., 1., 1.]])

该解决方案的总分是0.65500799 + 0.53634974 + 0.79214695 + 0.87150676 + 0.99663978 + 0.80823699

这些解决方案是由天真的Breadth-First Search (BFS)获得的。但是，对于较大的问题（例如10x10，n = 2），这种方法在计算上不可行（运行时会爆炸）。

问题：

1. 该离散优化问题如何分类？
2. 什么启发式方法可以快速找到解决该问题的好方法？
3. 哪些Python库实现了这些启发式技术？

Answer 1

这是基于整数编程（IP）的解决方案。

决策变量： x[i,j] = 1，如果我们在行i的列j中选择该项。

参数（输入）： s[i,j] =分（i，j）得分

配方：

maximize sum {i, j} s[i,j] * x[i,j]
subject to sum {i} x[i,j] = n     for all j
           sum {j} x[i,j] = n     for all i
           x[i,j] in {0,1}        for all i, j

您可以使用Python / PuLP或特定于求解器的程序包（例如gurobipy或docplex）来实现。我希望这些求解器可以在几分之一秒内解决甚至最大的问题，达到最优（不是启发式）。