Question

我试图找出解决此问题的最佳方法：有一个像这样的矩阵：

我们想找出每个可能的矩阵，其中每行和每列只有一个1，例如这个矩阵是一个可能的解决方案：

我认为您可以找到一个解决方案，通过每个可能的组合循环，并检查每行和每列中是否只有一个1？有没有任何已知的算法？有可能实际计算解决方案而不是尝试所有可能性吗？

非常感谢！

编辑：一种可能的解决方案（但价格昂贵）可能是生成每个理论上可能的矩阵，例如（使用3x3矩阵，因为它更短）： 1。

1 0 0
0 1 0
0 0 1

2

1 0 0
0 0 1
0 1 0

3

1 0 0
0 0 1
0 1 0

4。

0 1 0
1 0 0
0 0 1

5

0 1 0
0 0 1
1 0 0

等

然后，如果原始矩阵在给定位置具有1，则我们可以检查每个生成的矩阵。如果是的话，这是一个解决方案。

生成所有这些矩阵需要哪些循环？

Answer 1

编辑：

根据您的评论，我重新阅读原始问题并意识到我完全错过了问题的重点。我会在这里发布（希望）更相关的答案，但是人们应该随意撤销任何赞成票。我辩论发布了一个新答案并删除了这个答案，如果人们认为这是可行的方法，我仍然可以这样做。

新答案：

以下是我现在理解你的问题的方法。给定方形二进制矩阵A，找到所有矩阵B，使得B的每一行中的元素之和为1，并且每列中的元素之和为1，并且对于所有元素B（r，c）== 1，来自原始矩阵A（r，c）的对应元素== 1。

编辑2：

此处的问题是您要查找所有解决方案。并且有很多很多。对于所有1的nxn矩阵，您将获得n!个解决方案。对于每行有m 1的矩阵，您可能会有类似

的行

m ^n-m * m！

的解决方案。因此，即使您有一个非确定性算法在O（1）时间内生成所有解决方案，简单打印出来的时间复杂度仍然是指数级的。

正如MrSmith42在评论中所提到的，你可能需要进行回溯搜索，但是你可以采取一些措施来缩小搜索范围：

您可以进行的最简单的检查是在A中查找已经只有一个1的行/列。（显然，如果其中有没有 1的行/列，则没有有效的解决方案。）如果行 r 在列 c中只有一个1 ，将列 c 中的所有其他元素设置为0.同样，如果列 c 只有一行 r ，请设置所有其他元素行 r 为0.在您的示例中：

1 0 0 1 0     1 0 0 1 0     1 0 0 1 0
1 1 0 1 0     1 1 0 1 0 ==> 0 1 0 0 0
1 1 0 0 1 ==> 0 0 0 0 1     0 0 0 0 1
0 0 1 1 0     0 0 1 1 0     0 0 1 1 0
1 0 1 0 0     1 0 1 0 0     1 0 1 0 0

第5列中只有一个1，因此B 中的第3行必须在B（3,5）处具有1才能生效。这意味着我们可以修改输入矩阵A并减少搜索空间（略微），而不会丢失任何有效的解决方案。从这里开始，您现在在第2列中只有一个1，并且可以将第2行中的其他值设置为0。

接下来，您可以在搜索过程中使用正向检查，以防止搜索无法找到有效解决方案的子网格。假设你得到以下矩阵：

没有只有一个1的行或列，所以我们开始分配值。假设我们遵循我们的回溯算法到（在步骤1中）我们已将第4列分配到第1行的点。我们将第1行和第4列中的其他条目设置为 x 为表明他们已被分配：

               Step 1        Step 2
1 0 0 1 0 ==> x x x 1 x     x x x 1 x
0 1 1 0 1     0 1 1 x 1 ==> x x 1 x 1
1 1 0 0 1     1 1 0 x 1     1 1 x x 1
0 0 1 1 0     0 0 1 x 0     0 0 x x 0
1 0 1 0 0     1 0 1 x 0     1 0 x x 0

在第2步中，我们将第3列分配给第2行，并将行和列设置为已分配。

请注意，在第4行中我们没有任何1，因此无法通过此分配获得有效的解决方案。我们可以立即回溯以尝试第2行和第1行的不同分配。

原创（错误）答案

每个可能的nxn矩阵，每行和每列只有一个1，其余的0是单位矩阵的排列。也就是说，对于n = 5，您可以通过交换矩阵的行（或等效地，列）来获得此类型的每个有效矩阵：

例如，如果将最后一行换成行，则得到：

要自动生成所有可能的有效矩阵，首先要为身份矩阵的每一行指定一个索引，比如1-5从上到下：

1- 1 0 0 0 0
2- 0 1 0 0 0
3- 0 0 1 0 0
4- 0 0 0 1 0
5- 0 0 0 0 1

然后你只需生成所有的n！ {1,2,3,4,5}的可能排列。 {1,2,3,5,4}的排序将为您提供上面的第二个矩阵。

Answer 2

我写了这个简单的代码（使用你的矩阵）：

A=[1 0 0 1 0;
1 1 0 1 0;
1 1 0 0 1;
0 0 1 1 0;
1 0 1 0 0]

[row,col]=size(A);
B=zeros(row,col);

for i=1:col

    [one_row,~]=find(A(:,i)==1); %one_row says in wich row of the "i" column there are ones
    where_row=min(one_row); %we're interested only in one of those "ones".I'm taking the first found
    B(where_row,i)=1; %inserting in the output matrix
end

B %for visualization purposes

我希望它适合你。

Answer 3

这是两方面的匹配问题。

考虑一个二部图，其中在一组（R）中有r个顶点，在另一组（C）中具有c个顶点，其中r和c分别是行数和列数。如果元素i在给定矩阵中为1，则顶点j（在R中）和顶点[i,j]（在C中）之间的边存在。

如果要查找最大数目为1（最大二分匹配）的矩阵，可以使用

Maximum Bipartite Matching using Ford-Fulkerson algorithm在O(V.E)中运行

或

Hopcroft–Karp Algorithm for Maximum Matching在O(sqrt(V).E)中运行

矩阵的每一行和每列中只有一个值

3 个答案:

编辑：

新答案：

编辑2：

原创（错误）答案