如何在不知道4分的情况下绘制曲线？

Question

根据cairo example code，代码

double x=25.6,  y=128.0;
double x1=102.4, y1=230.4,
       x2=153.6, y2=25.6,
       x3=230.4, y3=128.0;

cairo_move_to (cr, x, y);
cairo_curve_to (cr, x1, y1, x2, y2, x3, y3);

cairo_set_line_width (cr, 10.0);
cairo_stroke (cr);

cairo_set_source_rgba (cr, 1, 0.2, 0.2, 0.6);
cairo_set_line_width (cr, 6.0);
cairo_move_to (cr,x,y);   cairo_line_to (cr,x1,y1);
cairo_move_to (cr,x2,y2); cairo_line_to (cr,x3,y3);
cairo_stroke (cr);

可以生成曲线和两条粉红线。

但那需要4个点，（x，y），（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）

如果我只有x，y和x3，y3（曲线的起点和终点）， 是否有任何数学公式来生成那些粉红色的线条而不知道x1，y1和x2，y2？

修改：

对于我通过以下方式生成曲线的情况。

cairo_move_to (cr, x, y);
cairo_curve_to (cr, x, y3, x3, y, x3, y3);

Answer 1

只需提出要点：

• 从您的两个已知点开始，（x ₁ ，y ₁ ）和（x ₃ ，y _{3 ）：}

• 加入两行：

• 在 P ₁ 和 P P ₂ > 3 ：

• 现在顺时针旋转 P ₃ 90°

• 与 P ₄ 相同，在 P ₁ 和 P <之间创建它/强> <子> 3 ：

• 顺时针旋转 P ₄ 90°

• 现在你有四点，可以绘制你的贝塞尔曲线：

---

中点可以计算为：

P _mid =（x ₁ + x ₃ ）/ 2，（y _{1 + Y <子> 3 ）/ 2}

double x1=25.6,  y1=128.0;
double x3=153.6, y3=25.6;

double xm = (x1+x3)/2;
double ym = (y1+y3)/2;

//rotate Pm by 90degrees around p1 to get p2
double x2 = -(ym-y1) + y1;
double y2 =  (xm-x1) + x1;

//rotate Pm by 90degrees around p3 to get p4
double x4 = -(ym-y3) + y3;
double y4 =  (xm-x3) + x3;

Answer 2

除非您提供某种可用于推导粉红色线条位置的约束。两个端点本身只能定义一条直线段。

Answer 3

粉色线代表两个端点的偏离矢量。没有这些向量，两点之间的“曲线”只是一条直线（除非你有其他信息来定义它）。

如果没有（x1，y1）和（x2，y2），则可以使用（x3，y3）作为（x，y）粉红线的端点，反之亦然。它们最终会在你的黑线上方，这就是它们应该是直线的位置。

如果曲线由函数定义，则在逼近终点时计算导数并沿该角度绘制切线。