使用替代方法重复

时间：2011-09-01 16:13:52

标签： algorithm

确定正数c＆amp; n0表示以下重复次数（使用替换方法）：

  1. T（n）= T（上限（n / 2））+ 1 ......猜猜是大哦（n的对数基数为2）

  2. T（n）= 3T（floor（n / 3））+ n ... Guess是Big-Omega（n *的对数基数为3）

  3. T（n）= 2T（floor（n / 2）+17）+ n ......猜猜是大哦（n * n的基数2）。

    4. 我正在解决问题1：

    我们的猜测是：T（n）= O（log_2（n））。 通过归纳假设假设对于所有k <1，T（k）<= c * log_2（k）。 n，这里c是const＆amp; c> 0 

         T(n) = T(ceiling(n/2)) + 1
<=>  T(n) <= c*log_2(ceiling(n/2)) + 1
<=>   "   <= c*{log_2(n/2) + 1} + 1
<=>   "    = c*log_2(n/2) + c + 1
<=>   "    = c*{log_2(n) - log_2(2)} + c + 1
<=>   "    = c*log_2(n) - c + c + 1
<=>   "    = c*log_2(n) + 1
<=>   T(n) not_<= c*log_2(n)      because c*log_2(n) + 1 not_<= c*log_2(n).

    要解决这个问题，请使用以下技巧：

        T(n) = T(ceiling(n/2)) + 1
<=>  "  <= c*log(ceiling(n/2)) + 1 
<=>  "  <= c*{log_2 (n/2) + b} + 1             where  0 <= b < 1
<=>  "  <= c*{log_2 (n) - log_2(2) + b) + 1  
<=>  "   = c*{log_2(n) - 1 + b} + 1
<=>  "   = c*log_2(n) - c + bc + 1
<=>  "   = c*log_2(n) - (c - bc - 1)      if c - bc -1 >= 0  
                                             c >= 1 / (1 - b)
<=> T(n) <= c*log_2(n) for c >= {1 / (1 - b)}

so T(n) = O(log_2(n)).

This solution is seems to be correct to me ... My Ques is: Is it the proper approach to   do?

Thanks to all of U.

2 个答案:

答案 0 :(得分：1)

问题＃1：

  1. T（1）= t0
  2. T（2）= T（1）+ 1 = t0 + 1
  3. T（4）= T（2）+ 1 = t0 + 2
  4. T（8）= T（4）+ 1 = t0 + 3 ... T（2 ^（m + 1））= T（2 ^ m）+ 1 = t0 +（m + 1）

    5. 设n = 2 ^（m + 1），得到T（n）= t0 + log_2（n）= O（log_2（n））

    问题＃2：

    1. T（1）= t0
    2. T（3）= 3T（1）+ 3 = 3t0 + 3
    3. T（9）= 3T（3）+ 9 = 3（3t0 + 3）+ 9 = 9t0 + 18
    4. T（27）= 3T（9）+ 27 = 3（9t0 + 18）+27 = 27t0 + 81 ... T（3 ^（m + 1））= 3T（3 ^ m）+ 3 ^（m + 1）=（（3 ^（m + 1））t0 +（3 ^（m + 1））（m + 1）

      5. 设n = 3 ^（m + 1），得到T（n）= nt0 + nlog_3（n）= O（nlog_3（n））。

      问题＃3：

      考虑n = 34.T（34）= 2T（17 + 17）+ 34 = 2T（34）+ 34.我们可以解决这个问题，发现T（34）= -34。我们还可以看到，对于奇数n，T（n）= 1 + T（n-1）。我们继续找到修复的值：

      1. T（0）= 2T（17）+ 0 = 2T（17）
      2. T（17）= 1 + T（16）
      3. T（16）= 2T（25）+ 16
      4. T（25）= T（24）+ 1
      5. T（24）= 2T（29）+ 24
      6. T（29）= T（28）+ 1
      7. T（28）= 2T（31）+ 28
      8. T（31）= T（30）+ 1
      9. T（30）= 2T（32）+ 30
      10. T（32）= 2T（33）+ 32
      11. T（33）= T（32）+ 1

        12. 我们得到T（32）= 2T（33）+ 32 = 2T（32）+ 34，意味着T（32）= -34。工作后记，我们得到

        1. T（32）= -34
        2. T（33）= -33
        3. T（30）= -38
        4. T（31）= -37
        5. T（28）= -46
        6. T（29）= -45
        7. T（24）= -96
        8. T（25）= -95
        9. T（16）= -174
        10. T（17）= -173
        11. T（0）= -346

          12. 正如您所看到的，这种复发比其他复杂有点复杂，因此，您应该仔细看看这一点。如果我有任何其他想法，我会回来;否则，你就是自己。

          编辑：

          再看一下＃3之后，你的评估看起来就像是O（nlog_2（n））。所以你可以尝试列出一堆数字 - 我是从n = 0到n = 45。你注意到一种模式：它从负数到n = 43,44左右的正数。要获取序列的下一个偶数索引元素，可按以下顺序添加2的幂：4,8,4,16,4,8,4,32,4,8,4,16,4,8 ，4,64,4,8,4,16,4,8,4,32 ......

          这些数字基本上是你标记一个任意长度的标尺......四分之一，一半，八分之一等等。因此，我们可以解决找到和1 + 2 +的顺序的等价问题1 + 4 + 1 + 2 + 1 + 8 + ......（与我们相同，除以4，我们的移位，但顺序仍然有效）。通过观察前k个数的总和（其中k是2的幂）等于和（（n /（2 ^（k + 1））2 ^ k）=（1/2）sum（n）对于k = 0到log_2（n），我们得到简单的递归由（n / 2）log_2（n）给出。乘以4得到我们的，并将x向右移动34并且可能加一个常数值结果。所以我们正在玩y = 2nlog_n（x）+ k'来获得一些常数k'。

          呼。这是一个棘手的问题。请注意，此重复不承认任何仲裁“初始条件”;换句话说，复发并不描述一系列序列，而是一个特定的序列，没有参数化。

答案 1 :(得分：1)

第一次练习： 我们希望通过归纳显示T(n) <= ceiling(log(n)) + 1。

我们假设T(1) = 1，而不是T(1) = 1 <= ceiling(log(1)) + 1 = 1，并且证明了归纳的基础。

现在，我们假设每个1 <= i < n持有T(i) <= ceiling(log(i)) + 1。

对于归纳步​​骤，我们必须区分n为偶数且何时为奇数的情况。

如果n是偶数：T(n) = T(ceiling(n/2)) + 1 = T(n/2) + 1 <= ceiling(log(n/2)) + 1 + 1 = ceiling(log(n) - 1) + 1 + 1 = ceiling(log(n)) + 1。

如果n是奇数：T(n) = T(ceiling(n/2)) + 1 = T((n+1)/2) + 1 <= ceiling(log((n+1)/2)) + 1 + 1 = ceiling(log(n+1) - 1) + 1 + 1 = ceiling(log(n+1)) + 1 = ceiling(log(n)) + 1

最后一段是棘手的，但是很可能，因为n是奇数，然后它不能是2的幂。

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