在 Isabelle 中用“归纳”证明时如何使用基本情况假设

Question

假设我正在证明一个假设“n ≥ m”（两者都是自然数）的定理，并且我对 n 应用归纳法。在基本情况下，假设是“n = 0”。有了这两个，我们可以得出结论，在基本情况下，“m = 0”。

但是，我在使用语句“n = 0”时遇到问题：

lemma foo:
  assumes "(n::nat) ≥ (m::nat)"
  shows ...
proof (induct n)
  case 0
  have "m = 0" using <I don't know what to put here> assms by simp
  ...
qed

我试过 using "n = 0"，但它似乎是一个“Undefined fact”。我也尝试将其添加为假设，但无济于事。尽管如此，很明显，在分析基本情况时，这是一个隐含的假设。

那么，如何在我的证明中直接使用基本情况的假设？

Answer 1

当您调用 induct 时，任何需要成为归纳一部分的假设都需要成为证明状态的一部分。特别是，这应该是包含您进行归纳的事情的所有假设（即在您的案例中包含 n 的所有假设）。

因此您应该在 using assms 之前执行 proof。然后 0 ≥ m 将在基本情况下提供给您，名称为 "0.prems" （或者只是 0 用于所有这些加上归纳假设，在这种情况下不存在） .