Question

我正在尝试在实践任务中正式应用无上下文语法。我在证明一个引理时遇到了问题。我试图简化我的上下文来概述问题，但它仍然有点麻烦。

所以我用Chomsky正规形式定义了CFG，并将终端列表的可导出性定义如下：

Require Import List.
Import ListNotations.

Inductive ter : Type := T : nat -> ter.
Inductive var : Type := V : nat -> var.
Inductive eps : Type := E : eps.

Inductive rule : Type :=
  | Rt : var -> ter -> rule
  | Rv : var -> var -> var -> rule
  | Re : var -> eps -> rule.

Definition grammar := list rule.

Inductive der_ter_list : grammar -> var -> list ter -> Prop :=
  | Der_eps : forall (g : grammar) (v : var) (e : eps),
      In (Re v e) g -> der_ter_list g v []
  | Der_ter : forall (g : grammar) (v : var) (t : ter),
      In (Rt v t) g -> der_ter_list g v [t]
  | Der_var : forall (g : grammar) (v v1 v2 : var) (tl1 tl2 : list ter),
      In (Rv v v1 v2) g -> der_ter_list g v1 tl1 -> der_ter_list g v2 tl2 ->
        der_ter_list g v (tl1 ++ tl2).

我有存储终端和一些其他信息的对象，例如：

Inductive obj : Set := Get_obj : nat -> ter -> obj.

我尝试定义所有可能的对象列表，这些对象列表可以从给定的非终结符（带辅助函数）派生：

Fixpoint get_all_pairs (l1 l2 : list (list obj)) : list (list obj) := match l1 with
    | [] => []
    | l::t => (map (fun x => l ++ x) l2) ++ get_all_pairs t l2
  end.

Fixpoint getLabels (objs : list obj) : list ter := match objs with
    | [] => []
    | (Get_obj yy ter)::t => ter::(getLabels t)
  end.

Inductive paths : grammar -> var -> list (list obj) -> Prop :=
  | Empty_paths : forall (g : grammar) (v : var) (e : eps),
      In (Re v e) g -> paths g v [[]]
  | One_obj_path : forall (g : grammar) (v : var) (n : nat) (t : ter) (objs : list obj),
      In (Rt v t) g -> In (Get_obj n t) objs -> paths g v [[Get_obj n t]]
  | Combine_paths : forall (g : grammar) (v v1 v2 : var) (l1 l2 : list (list obj)),
      In (Rv v v1 v2) g -> paths g v1 l1 -> paths g v2 l2 -> paths g v (get_all_pairs l1 l2).

（paths的每个构造函数实际上对应于rule）的构造函数

现在我试图通过归纳来证明关于paths的事实，paths中的每个元素都可以从非终结符号中派生出来：

Theorem derives_all_path : forall (g: grammar) (v : var)
  (ll : list (list obj)) (pths : paths g v ll), forall (l : list obj),
        In l ll -> der_ter_list g v (getLabels l).
Proof.
  intros g v ll pt l contains.
  induction pt.

这个构造产生了3个子目标，第1和第2我通过分别应用Der_eps和Der_ter构造函数来证明。但是第三个子目标中的上下文与证明我的目标无关，它具有：

contains : In l (get_all_pairs l1 l2)
IHpt1 : In l l1 -> der_ter_list g v1 (getLabels l)
IHpt2 : In l l2 -> der_ter_list g v2 (getLabels l)

所以contains表示l是来自l1和l2的某些元素的串联，但IHpt1和IHpt2中的前提是真的iff l2和l1有空列表，一般情况下都不正确，因此无法用此上下文证明目标。

如果l，contains，IHpt1中的IHpt2列表不同，问题就可以得到解决，但不幸的是我不知道如何向Coq解释。是以某种方式改变IHpt1和IHpt2以证明目标，还是以任何其他方式来证明整个事实？

我试着看paths_ind，但这并没有让我开心。

Answer 1

看起来您的归纳假设不够强大。如果您针对更具多态性的目标执行induction pt，那么您将获得更多有用的假设，这些假设与您开始使用的特定l无关。

你应该尝试：

intros g v ll pt; induction pt; intros l contains.

如何加强Coq证明中的归纳假设？

1 个答案: