在没有局部假设的情况下证明 Isar 中的定理

Question

语句 n+0 = n 很容易证明：

theorem add_0: "n+0 = (n::nat)"
  apply(simp)
  done

在尝试将其转换为 Isar 时，我注意到它似乎不需要任何假设。所以在这次尝试中：

theorem add_0: "n+0 = (n::nat)"
proof -
  thus "True" by simp
qed

它失败了，因为有“No current facts available”。第二次尝试也失败了：

theorem add_0: "n+0 = (n::nat)"
proof -
  from add_0 show "True" by simp
qed

这次出现错误“Failed to refine any pending goal”。

是否可以证明Isar 中不需要assume 子句的陈述？如果是，那么如何？

Answer 1

thus "True"

有两个问题

1. 正如您所指出的，您开始的证明状态没有任何假设，因此证明状态中没有事实。缩写 thus 扩展为 then show，因为我们的证明状态中没有事实，因此使用 then 没有意义，因此我们应该将其替换为 show。
2. show "True" 是说我们想证明 "True" 而不是我们想证明定理的目标。我们可以使用示意图变量 ?thesis 来引用定理的原始论文。错误 Failed to refine any pending goal 只是说，如果我们要证明 True 为真，则无助于解决我们论文的目标。

因此我们可以使用以下模式通过 Isar 证明来证明我们的原始定理。

theorem add_0: "n+0 = (n::nat)"
proof -
  show ?thesis by simp
qed