Question

给出一个球形段（其半径，方向和角度），如何以最简单的方式计算其与轴对齐的边界框？

请注意，我对任意定向的线段感兴趣，而框必须是轴向对齐的。紧密的边界框很容易计算。

这个问题可以简化为球形帽的边界框，但是我也找不到相应的算法。

Answer 1

为简单起见，假设我们平移并缩放坐标系，以使中心位于（0，...，0），半径为1。设 u 为端点的端点。分段（使“ u ”²= 1）并使弧度角为θ。蓝色扇区是所有 v 点，使得‖ v ‖²≤1和 u · v ≥‖< strong> u ‖‖ v ‖cosθ=‖ v ‖cosθ。要在 d 维度中找到与轴对齐的边界框，我们需要找到2 d 个矢量 v ，这些矢量会最小化/最大化每个单独的坐标，即，给定向量 e ，使得+ e 或- e 属于轴向基准（例如 e =（0，−1，0，...，0））我们要最大化 e · v ，但要受 v 。

maximize e·v
subject to
‖v‖² ≤ 1
u·v ≥ ‖v‖ cos θ

我们首先观察到在不丧失一般性的情况下，“ v ” = 0或“ v ” = 1，因为目标是线性的，而其他点位于a上这些的凸组合。让我们集中讨论后一种情况。

maximize e·v
subject to
‖v‖² = 1
u·v ≥ cos θ

第二，存在一个最佳解决方案，该解决方案位于 e 和 u 所跨越的空间中。给定任何最佳解，我们可以将正交投影带入该空间而无需增加其范数或使用 e 或 u 更改点积，因此投影也是可行且最佳的

因此，通过让 v =α e +β u ，用系数α和β重写问题。

maximize e·(αe + βu)
subject to
‖αe + βu‖² = 1
u·(αe + βu) ≥ cos θ

让我们扩展产品并使用“ e ”²=“ u ”²= 1的事实。

maximize α + β(e·u)
subject to
α² + 2αβ(e·u) + β² = 1
α(e·u) + β ≥ cos θ

现在我们有一个案例分析。忽略线性约束，目标最多为1，因此解α= 1和β= 0（即 v = e ）是最佳的。仅当 e · u ≥cosθ时，该解决方案才可行。

如果该解决方案不可行，则线性约束必须严格：α（ e · u ）+β= cosθ，或β= cosθ-α （ e · u ）。然后我们可以代入，求解所得二次方程式，并采用得分更高的解决方案（除非它们均得分为负，否则边界为0）。

Answer 2

按照David的回答，我实现了似乎运行良好的算法：

Box ComputeSphericalSegmentBoundingBox( const Vec3& u, const float angle )
{
    const float cosAngle = cosf( angle ); // cos θ

    const auto solveAxis = [&] ( const Vec3& e )
    {
        const float eu = Vec3::Dot( e, u ); // e·u
        if ( eu >= cosAngle )
        {
            return 1.0f;
        }

        // solve for a² + 2a(cosθ - a(e·u))(e·u) + (cosθ - a(e·u))² = 1
        const float det = ( cosAngle * cosAngle - 1.0f ) / ( eu * eu - 1.0f );
        if ( det >= 0.0f )
        {
            const float a = sqrtf( det );

            // maximize x = a + b(e·u)
            const float x0 = ( cosAngle - a * eu ) * eu + a;
            const float x1 = ( cosAngle + a * eu ) * eu - a;
            return Clamp( max( x0, x1 ), 0.0f, 1.0f );
        }

        return 0.0f;
    };

    Vec3 boxMin
    {
        min(0.0f, -solveAxis( Vec3(-1,0,0) ) ),
        min(0.0f, -solveAxis( Vec3(0,-1,0) ) ),
        min(0.0f, -solveAxis( Vec3(0,0,-1) ) )
    };

    Vec3 boxMax
    {
        max(0.0f, solveAxis( Vec3(1,0,0) ) ),
        max(0.0f, solveAxis( Vec3(0,1,0) ) ),
        max(0.0f, solveAxis( Vec3(0,0,1) ) )
    };

    return { boxMin, boxMax };
}

球形扇形的边界框（圆锥-球面相交）

2 个答案: