六边形图中寻找最优节点对的算法

Question

我正在寻找一种算法，以在六边形（蜂窝）图上找到相邻节点对，从而最大限度地降低成本函数。

• 每个节点连接到三个相邻节点
• 每个节点“i”应与正好一个邻居节点“j”配对。

• 每对节点定义一个成本函数

  c = pairCost（i，j）

• 然后将总费用计算为

  totalCost = 1/2 sum_ {i = 1：N}（pairCost（i，pair（i）））

其中pair（i）返回“i”与之配对的节点的索引。 （总和除以2，因为总和计算每个节点两次）。我的问题是，如何找到最小化totalCost的节点对？

链接的图像应该使解决方案看起来更清晰（粗红线表示配对）：

进一步说明：

• 我真的不关心最外面的节点
• 我的成本函数类似于|| v （i） - v （j）|| （与节点关联的向量之间的距离）
• 我猜这个问题可能是NP难的，但我真的不需要真正的最佳解决方案，一个好的解决方案就足够了。
• Naive algos倾向于获得“锁定”的节点，即所有邻居都被占用。

注意：我不熟悉这个领域的常用命名法（图论是什么？）。如果你可以提供帮助，那么也许这可以让我在文献中寻找解决方案。

Answer 1

这是一般图表中maximum weight matching problem的一个实例 - 当然，您必须否定权重才能使其成为最小权重匹配问题。 Edmonds的paths, trees and flowers algorithm（Wikipedia link）为您解决了这个问题（还有一个公共Python implementation）。对于 n 顶点，天真的实现是O（n ⁴ ），但它可以被推到O（n ^1/2 m）使用Micali和Vazirani的算法 n 顶点和 m 边缘（抱歉，找不到PDF）。

Answer 2

这似乎与minimum edge cover problem有关，附加约束条件是每个节点只能有一条边，并且您试图最小化成本而不是边数。也许你可以通过搜索那个短语来找到答案。

如果失败了，你的问题可以被表述为integer linear programming problem，这是NP完全的，这意味着你甚至可能因为中等问题而获得可怕的性能。 （但这并不一定意味着问题本身就是NP完全的。）