两架飞机之间的交叉线

Question

如何找到两个平面之间的交线？

我知道数学思想，并且我在平面法向量之间做了交叉乘积

但如何以编程方式从结果矢量中获取该行

Answer 1

平面的方程是ax + by + cz + d = 0，其中（a，b，c）是平面的法线，d是到原点的距离。这意味着满足该等式的每个点（x，y，z）都是平面的一个成员。

鉴于两架飞机：

P1: a1x + b1y + c1z + d1 = 0
P2: a2x + b2y + c2z + d2 = 0

两者之间的交集是验证两个方程的点集。要沿着这条线找到点，你可以简单地为x，任意值选择一个值，然后求解y和z的方程。

y = (-c1z -a1x -d1) / b1
z = ((b2/b1)*(a1x+d1) -a2x -d2)/(c2 - c1*b2/b1)

如果你制作x=0，这会变得更简单：

y = (-c1z -d1) / b1
z = ((b2/b1)*d1 -d2)/(c2 - c1*b2/b1)

Answer 2

在线上找到一个点

要获得2个平面的交点，您需要一条线和该线的方向。

找到该线的方向非常简单，只需穿过相交的2个平面的2个法线。

lineDir = n1 × n2

但是该线穿过原点，沿着平面交叉点的线可能不会。因此，Martinho's回答为在交叉线上找到一个点提供了一个很好的开始（基本上任意点在两个平面上）。

如果你想看看如何解决这个问题的推导，这里有数学背后的数学：

首先让x = 0。现在我们在2个方程中有2个未知数而不是2个方程中的3个未知数（我们任意选择了一个未知数）。

然后平面方程是（由于我们选择x = 0，因此消除了一个项）：

  

B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0

     

B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0

我们想要y和z，使得这些方程式对于B ₁ ，C ₁ 给出正确解决（= 0）。

所以，只需将顶部eq乘以（-B ₂ / B ₁ ）即可获得

  

-B ₂ y +（ - B ₂ / B ₁ ）* C ₁ z +（ -B ₂ / B ₁ ）* D ₁ = 0

     

B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0

添加eqs以获取

  

z =（（ - B ₂ / B ₁ ）* D ₁ - D ₂ ）/ （C ₂ * B ₂ / B ₁ ）* C ₁ ）

现在将你找到的z扔到第一个等式中，找到y为

  

y =（ - D ₁ - C ₁ z）/ B ₁

注意 best 变量使0变为具有最低系数的变量，因为它无论如何都不携带任何信息。因此，如果C ₁ 且C ₂ 都为0，则选择z = 0（而不是x = 0）将是更好的选择。

如果B ₁ = 0，上述解决方案仍然会搞砸（这不太可能）。您可以添加一些检查B ₁ = 0的if语句，如果是，请确保替换其中一个变量。

使用3个平面的交叉点的解决方案

从user's回答，3个平面交叉的封闭式解决方案实际上是在图形宝石1中。公式为：

  

P_intersection =（（point_on1•n1）（n2×n3）+（point_on2•n2）（n3×n1）+（point_on3•n3）（n1×n2））/ det（n1，n2，n3）

实际上是point_on1•n1 = -d1（假设你写的平面Ax + By + Cz + D = 0，而不是= -D）。所以，您可以将其重写为：

  

P_intersection =（（-d1）（n2×n3）+（ - d2）（n3×n1）+（ - d3）（n1×n2））/ det（n1，n2，n3）

与3个平面相交的函数：

// Intersection of 3 planes, Graphics Gems 1 pg 305
static Vector3f getIntersection( const Plane& plane1, const Plane& plane2, const Plane& plane3 )
{
  float det = Matrix3f::det( plane1.normal, plane2.normal, plane3.normal ) ;

  // If the determinant is 0, that means parallel planes, no intn.
  if( det == 0.f ) return 0 ; //could return inf or whatever

  return ( plane2.normal.cross( plane3.normal )*-plane1.d +
           plane3.normal.cross( plane1.normal )*-plane2.d + 
           plane1.normal.cross( plane2.normal )*-plane3.d ) / det ;            
}

证明它有效（黄点是rgb平面的交点）

获取

行

一旦你有一个与两个平面共同的交点，那么这条线就是

  

P + t * d

其中P是交点，t可以从（-inf，inf）开始，d是方向向量，它是两个原始平面法线的叉积。

红色和蓝色平面之间的交叉线看起来像这样

效率和稳定性

“强大”（第二路）按照我的计数需要48个基本操作，而第一路（x，y的隔离）使用的36个基本操作。这两种方式之间在稳定性和#computing之间存在折衷。

在B ₁ 为0并且你没有检查的情况下，从第一路的调用中获取（0，inf，inf）是非常灾难性的。因此，添加if语句并确保不将0除以第一种方式可能会以代码膨胀和增加的分支（可能非常昂贵）为代价来提供稳定性。 3平面交叉法几乎是无分支的，不会给你无穷大。

Answer 3

为了完整性添加此答案，因为在撰写本文时，这里的答案都没有包含直接解决问题的有效代码示例。

虽然其他答案在already covered the principles。

可以使用3平面交叉算法的简化版本计算两个平面之间的线。

2＆＃39;更强大的方法＆＃34;从bobobobo's回答参考3平面交叉点。

虽然这适用于2个平面（其中第3个平面可以使用前两个平面的叉积计算），但对于2平面版本，问题可以进一步减少。

• 不需要使用3x3矩阵行列式，相反，我们可以使用第一个和第二个平面之间的叉积的平方长度（这是3＆＃39; rd平面的方向）
• 无需包含第3架飞机距离，（计算最终位置）。
• 无需否定距离。
  通过交换产品订单来节省一些cpu周期。

包括这个代码示例，因为它可能不会立即显而易见。

// Intersection of 2-planes: a variation based on the 3-plane version.
// see: Graphics Gems 1 pg 305
//
// Note that the 'normal' components of the planes need not be unit length
bool isect_plane_plane_to_normal_ray(
        const Plane& p1, const Plane& p2,
        // output args
        Vector3f& r_point, Vector3f& r_normal)
{
    // logically the 3rd plane, but we only use the normal component.
    const Vector3f p3_normal = p1.normal.cross(p2.normal);
    const float det = p3_normal.length_squared();

    // If the determinant is 0, that means parallel planes, no intersection.
    // note: you may want to check against an epsilon value here.
    if (det != 0.0) {
        // calculate the final (point, normal)
        r_point = ((p3_normal.cross(p2.normal) * p1.d) +
                   (p1.normal.cross(p3_normal) * p2.d)) / det;
        r_normal = p3_normal;
        return true;
    }
    else {
        return false;
    }
}

Answer 4

只要两个平面不平行，此方法就可以避免除零。

如果这些是飞机：

A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0
A2*x + B2*y + C2*z + D2 = 0

1）找到平行于交线的矢量。这也是第三个平面的法线，它垂直于另外两个平面：

(A3,B3,C3) = (A1,B1,C1) cross (A2,B2,C2)

2）形成3个方程的系统。这些描述了3个在一点交叉的平面：

A1*x1 + B1*y1 + C1*z1 + D1 = 0
A2*x1 + B2*y1 + C2*z1 + D2 = 0
A3*x1 + B3*y1 + C3*z1 = 0

3）解决它们找到x1，y1，z1。这是交叉线上的一个点。

4）交线的参数方程为：

x = x1 + A3 * t
y = y1 + B3 * t
z = z1 + C3 * t

Answer 5

基于行列式的方法很简洁，但很难理解它的工作原理。

这是另一种更直观的方式。

这个想法首先从原点到第一个平面上的最近点（p1），然后从那里到达两个平面的交点线上的最近点。 （沿着我在下面调用v的向量。）

Given
=====
 First plane: n1 • r = k1
Second plane: n2 • r = k2

Working
=======
dir = n1 × n2
p1 = (k1 / (n1 • n1)) * n1
v = n1 × dir
pt = LineIntersectPlane(line = (p1, v), plane = (n2, k2))

LineIntersectPlane
==================
#We have n2 • (p1 + lambda * v) = k2
lambda = (k2 - n2 • p1) / (n2 • v)
Return p1 + lambda * v

Output
======
Line where two planes intersect: (pt, dir)

这应该与基于行列式的方法给出相同的观点。几乎可以肯定两者之间存在联系。如果我们应用＆＃34;标量三重产品＆＃34;至少分母n2 • v是相同的。规则。因此，就条件数而言，这些方法可能类似。

不要忘记检查（几乎）平行的飞机。例如：如果使用单位法线，if (dir • dir < 1e-8)应该可以正常工作。

Answer 6

线的叉积是交线的方向。现在你需要在交叉点有一个点。

您可以通过在十字产品上取一个点，然后减去平面A的法线A *到平面A的距离和平面B的法线*到平面b的距离。清洁器：

p =指向交叉产品

交点=（[p] - （[平面A的法线] * [从p到平面A的距离]） - （[平面B的法线] * [从p到平面B的距离]））

编辑：

你有两架有两个法线的飞机：

N1 and N2

交叉积是交点线的方向：

C = N1 x N2

上面的类具有计算点和平面之间距离的功能。用它来得到C上某点p到两个平面的距离：

p = C //p = 1 times C to get a point on C
d1 = plane1.getDistance(p)
d2 = plane2.getDistance(p)

交叉线：

resultPoint1 = (p - (d1 * N1) - (d2 * N2))
resultPoint2 = resultPoint1 + C