Question

我正在谈论的算法将允许你用x个项目呈现它，每个项目的范围为a到b，结果为y。我想有一个算法，当用所描述的值表示时，它会输出它发生的可能性。

例如，对于两个骰子。因为我已经了解它们（由于可能的结果如此之低）。它能够告诉你每种可能性。

设置会是这样的。 x = 2 a = 1 b = 6。如果你想知道它有机会产生一个2.然后它只是吐出1/36（或它的浮点值）。如果你输入7作为总和，它会告诉你6。

所以我的问题是，是否有一种简单的方法可以通过已经编写的算法来实现这样的事情。或者是否必须经历每个项目的每次迭代以获得每个值的组合总数。

确切的公式还可以为您提供组合来制作1-12的每个值。

所以它会给你一个分布数组，每个索引都有一个组合。如果是0-12。然后0将为0,1将具有0，而2将具有1.

我觉得这是其他人已经拥有并想要使用的问题类型，并且算法已经完成。如果有人有一个简单的方法来做到这一点，除了简单地循环遍历每个可能的值将是非常棒的。

我不知道为什么我想要解决这个问题，但出于某种原因，今天我只是有这种想要解决它的感觉。因为我一直在谷歌搜索，并使用wolfram alpha，并自己尝试。我认为是时候承认失败并向社区提问。

我希望算法在c中，或者也许是PHP（尽管我不喜欢它，因为它的速度要慢得多）。 c的原因很简单，因为我想要原始速度，而且我不想处理类或对象。

伪代码或C是显示算法的最佳方式。

编辑：

另外，如果因为数学方面的问题我冒犯了名字中带有'b'的人，我很抱歉。因为我不是故意冒犯，但我想说明我不理解它。但答案可能会留在那里，因为我确信有人可能会提出这个问题并理解其背后的数学。

此外，我无法决定我想用哪种方式对其进行编码。我想我会尝试使用两者，然后决定哪一个我更喜欢在我的小图书馆中查看/使用。

我忘了说的最后一件事是，微积分在五年前大约有四个。我对概率，统计和随机性的理解来自于我自己的学习，通过查看代码/阅读维基百科/阅读书籍。

如果有人好奇是什么引发了这个问题。我有一本书，我正在推迟阅读名为 The Drunkards Walk 的书，然后一旦我说XKCD 904，我决定是时候终于开始读它了。两天前，当我要睡觉的时候......我曾经思索过如何通过一个简单的算法解决这个问题，并且能够想到一个。

我对代码的编码理解来自于修改其他程序，看到当我破坏某些东西时发生的事情，然后在查看文档中的内置函数时尝试自己的事情。我从阅读维基百科（尽可能多的人）中了解大O符号，伪代码是因为它与python非常相似。我自己，不能写伪代码（或说大学里的老师）。我不断得到像“让它不像真正的代码使它更像伪代码”的笔记。那件事没有改变。

编辑2：任何搜索此问题的人都很快就想要代码。我把它包括在下面。它是根据LGPLv3许可的，因为我确信这个代码存在闭源等价物。

它应该是相当便携的，因为它完全用c编写。如果有人想要用c语言编写的各种语言中的扩展名，那么这样做应该花费很少的精力。我选择“标记”第一个与“Ask Math”相关联的答案，因为它是我用于此问题的实现。

第一个文件的名称是“sum_probability.c”

#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <limits.h>

/*!
*    file_name: sum_probability.c
*    
*    Set of functions to calculate the probabilty of n number of items adding up to s
*    with sides x. The question that this program relates to can be found at the url of
*    http://stackoverflow.com/questions/6394120/
*    
*     Copyright 2011-2019, Macarthur Inbody
*    
*   This program is free software: you can redistribute it and/or modify
*   it under the terms of the Lesser GNU General Public License as published by
*   the Free Software Foundation, either version 3 of the License, or
*   (at your option) any later version.
*
*   This program is distributed in the hope that it will be useful,
*   but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
*   MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
*   GNU General Public License for more details.
*
*   You should have received a copy of the Lesser GNU General Public License
*   along with this program.  If not, see <http://www.gnu.org/licenses/lgpl-3.0.html>.
*     
*   2011-06-20 06:03:57 PM -0400
*    
*   These functions work by any input that is provided. For a function demonstrating it.
*   Please look at the second source file at the post of the question on stack overflow.
*   It also includes an answer for implenting it using recursion if that is your favored
*   way of doing it. I personally do not feel comfortable working with recursion so that is
*   why I went with the implementation that I have included.
*
*/

/*
* The following functions implement falling factorials so that we can
* do binomial coefficients more quickly.
* Via the following formula.
*
*   K
*  PROD    (n-(k-i))/i
*   i=1;
*
*/

//unsigned int return
unsigned int m_product_c( int k,  int n){
    int i=1;
    float result=1;
    for(i=1;i<=k;++i){
        result=((n-(k-i))/i)*result;
    }
    return result;
}

//float return
float m_product_cf(float n, float k){
    int i=1;
    float result=1;
    for(i=1;i<=k;++i){
        result=((n-(k-i))/i)*result;
    }
    return result;
}


/*
* The following functions calculates the probability of n items with x sides
* that add up to a value of s. The formula for this is included below.
*
* The formula comes from. http://mathforum.org/library/drmath/view/52207.html
*
*s=sum
*n=number of items
*x=sides
*(s-n)/x
* SUM  (-1)^k * C(n,k) * C(s-x*k-1,n-1)
* k=0
*
*/

float chance_calc_single(float min, float max, float amount, float desired_result){
    float range=(max-min)+1;
    float series=ceil((desired_result-amount)/range);
    float i;
    --amount;
    float chances=0.0;
    for(i=0;i<=series;++i){
        chances=pow((-1),i)*m_product_cf(amount,i)*m_product_cf(desired_result-(range*i)-1,amount)+chances;
    }
    return chances;
}

这是显示我在上一个文件中所说的实现的文件。

#include "sum_probability.c"

/*
* 
* file_name:test.c
*
* Function showing off the algorithms working. User provides input via a cli
* And it will give you the final result.
*
*/
int main(void){
        int amount,min,max,desired_results;
        printf("%s","Please enter the amount of items.\n");
        scanf("%i",&amount);
        printf("%s","Please enter the minimum value allowed.\n");
        scanf("%i",&min);
        printf("%s","Please enter the maximum value allowed.\n");
        scanf("%i",&max);
        printf("%s","Please enter the value you wish to have them add up to. \n");
        scanf("%i",&desired_results);
        printf("The total chances for %i is %f.\n", desired_results, chance_calc_single(min, max, amount, desired_results));
}

Answer 1

首先，您无需担心范围从a到b。您可以从a*x中减去y，并假设范围从0到b-a。（因为每个项目对总和的贡献至少为a ...因此，您可以为每个a项目减去x次。）

其次，请注意，您真正想要做的是计算实现特定金额的方式的数量。概率只是计数除以简单的指数(b-a+1)^x。

这个问题在十年前被“问问数学博士”所涵盖：

http://mathforum.org/library/drmath/view/52207.html

他的表述是假设骰子从1到X编号，所以要使用他的答案，你可能想要将你的范围改为a-1（而不是a）以将其转换成那种形式。 / p>

他的推导使用了生成函数，我觉得值得一点解释。我们的想法是定义一个多项式f(z)，使z^n上的系数是滚动n的方式。例如，对于单个6面骰子，这是生成函数：

z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6

...因为有一种方法可以将每个数字从1滚动到6，还有零滚动方式。

现在，如果你有两组骰子的生成函数g(z)和h(z)，那么这些集合的生成函数就是g的乘积。和h。（盯着“乘以两个多项式”运算一段时间来说服自己这是真的。）例如，对于两个骰子，我们可以将上面的表达式平方得到：

z^2 + 2z^3 + 3z^4 +4z^5 + 5z^6 + 6z^7 + 5z^8 + 4z^9 + 3z^10 + 2z^11 + z^12

注意我们如何直接从系数中读取组合的数量：1种方式获得2（1*z^2），6种方式获得7（6*z^7）等等。

表达式的立方体将为我们提供三个骰子的生成函数;第四种力量，四个骰子;等等。

当您以封闭形式编写生成函数，乘法，然后使用Binomial Theorem再次展开它们时，会出现此公式的强大功能。我按照Math博士的解释详细说明。

Answer 2

假设f(a, b, n, x)表示在a和b之间选择n个数字的方式数，总计为x。

然后注意：

f(a, b, n, x) = f(0, b-a, n, x-n*a)

实际上，只需采用一种方法来实现x的总和，并从每个n个数中减去a，那么总和将变为x - n*a，并且它们中的每一个将在0和ba之间。

因此编写代码来查找f(0, m, n, x)就足够了。

现在请注意，实现目标的所有方法，例如最后一个数字是c：

f(0, m, n-1, x-c)

实际上，我们还剩下n-1个数字，并希望总和为x-c。然后我们有一个递归公式：

f(0,m,n,x) = f(0,m,n-1,x) + f(0,m,n-1,x-1) + ... + f(0,m,n-1,x-m)

其中右边的加数对应于最后一个数字等于0,1，...，m

现在你可以使用递归来实现它，但这太慢了。

但是，有一个名为memoized recursion的技巧，即你保存函数的结果，这样你就不必再计算它（对于相同的参数）。

memoized递归的复杂度为O(m * n)，因为这是您需要计算和保存的不同输入参数的数量。

一旦你计算了计数，你需要除以可能的总数，即（m + 1）* n来得到最终的概率。

Answer 3

为了获得所有可能性，您可以制作价值图：

for (i=a to b) {
 for (j=a to b) {
  map.put(i+j, 1+map.get(i+j))
 }
}

为了更有效地计算总和，您可以使用该模式 6 7，5 6，4 5，3 4，2 3，1 2。

该模式适用于n x n网格，将有n（n + 1）个，并且总和1的可能性更小或更小。

这将计算可能性，例如，Count（6,1 / 2/3/4/5/6）将为骰子的总和提供可能性。

import math
def Count(poss,sumto):
  return poss - math.fabs(sumto-(poss+1));

编辑：在C中，这将是：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>;

int count(int poss, int sumto)
{
  return poss - abs(sumto-(poss+1));
}

int main(int argc, char** argv) {
    printf("With two dice,\n");
    int i;
    for (i=1; i<= 13; i++)
    {
        printf("%d ways to sum to %d\n",count(6,i),i);
    }
    return (EXIT_SUCCESS);
}

给出：

With two dice,
0 ways to sum to 1
1 ways to sum to 2
2 ways to sum to 3
3 ways to sum to 4
4 ways to sum to 5
5 ways to sum to 6
6 ways to sum to 7
5 ways to sum to 8
4 ways to sum to 9
3 ways to sum to 10
2 ways to sum to 11
1 ways to sum to 12
0 ways to sum to 13

Answer 4

数论，统计学和组合学让你相信得到一个事件概率的数值 - 你必须知道两件事：

可能的结果数
在总结果集合中，有多少等于你寻求的概率值的结果'y'。

在伪代码中：

numPossibleOutcomes = calcNumOutcomes(x, a, b);
numSpecificOutcomes = calcSpecificOutcome(y);
probabilityOfOutcome = numSpecificOutcomes / numPossibleOutcomes;

然后只需编写上面两个应该很容易的函数。

一种计算结果发生概率的算法

4 个答案: