CLRS - 随机搜索 - 如何计算预期的选秀数？

Question

是CLRS问题。问题来自CLRS第三版：5-2-b。

随机搜索是一种算法，您必须随机选择一个元素并将其与搜索到的元素进行比较。如果等于，我们需要停下来。现在，假设您只有一个索引为i的元素，使得A [i] = x（x是数组中的搜索元素）。 在找到x之前，我们必须选择A的预期索引数量是多少？ 另外，当我们有超过1个等于x的索引值时，我们怎样才能找到预期的索引数？

Answer 1

我们可以定义随机变量X =迭代次数，直到选择目标元素。如果你概括术语以便'迭代'被称为'试验'而'选择目标元素'被称为'成功'，那么你有X =试验次数直到成功。

这个随机变量具有众所周知的分布。给定成功概率参数p geometric distribution。几何分布的期望值是E（X）= 1 / p。

要将几何分布应用于问题，必须确定成功概率p。对于只有一个索引包含目标值的情况，p = 1 / n，其中n是搜索集合的大小。所以在这种情况下，E（X）= n。

对于任意数量的索引映射到目标值的一般情况，p = m / n其中m是映射到目标值的索引的数量。所以在这种情况下E（X）= n / m。

Answer 2

假设在找到元素x之前有k个失败。所以Pr {k failures} = k /（n-1）。现在E（X）= k = 1到n的Pr {k failure}之和。因此，E（X）= n（n + 1）/ 2（n-1）。