Question

函数foo的大O符号是什么？

int foo(char *s1, char *s2)
{
   int c=0, s, p, found;
   for (s=0; s1[s] != '\0'; s++)
   {
      for (p=0, found=0; s2[p] != '\0'; p++)
      {
         if (s2[p] == s1[s])
         {
            found = 1;
            break;
         }
      }
      if (!found) c++;
   }
   return c;
}

函数foo的效率是多少？

a）O（n！）

b）O（n ^ 2）

c）o（n lg（base2）n）

d）O（n）

我会说O（MN）......？

Answer 1

它是O(n²)，其中n = max（长度（s1），长度（s2））（可以在小于二次时间内确定 - 见下文）。我们来看看教科书的定义：

f（n）∈O（g（n））如果存在正实数c和正整数N，则对于所有n> = N
f（n）＆lt; = c g（n）

通过这个定义，我们看到n表示一个数字 - 在这种情况下，该数字是传入的字符串的长度。但是，存在明显的差异，因为该定义仅提供单个变量函数{{1}在这里我们清楚地传入2个独立长度的字符串。因此，我们搜索Big O的多变量定义。但是，正如Howell在"On Asymptotic Notation with Multiple Variables"中所证明的那样：

“不可能以暗示所有这些[通常假定的]属性的方式为多变量函数定义big-O表示法。”

Big O with multiple variables实际上有一个正式的定义，但这需要超出单个变量Big O的额外约束，并且超出了大多数（如果不是全部）算法课程的范围。对于典型的算法分析，我们可以通过将所有变量绑定到限制变量f(n)来有效地将函数减少为单个变量。在这种情况下，变量（具体地说，长度（s1）和长度（s2））显然是独立的，但可以绑定它们：

方法1

当没有匹配时，会发生此函数的最坏情况，因此我们执行x1 * x2迭代。

因为乘法是可交换的，最坏的情况foo（s1，s2）== foo的最坏情况（s2，s1）。因此，我们可以在不失一般性的情况下假设x1> = x2。（这是因为，如果x1＆lt; x2我们可以通过以相反的顺序传递参数来获得相同的结果）。

方法2 （如果您不喜欢第一种方法）

对于最坏的情况（其中s1和s2不包含公共字符），我们可以在迭代循环之前确定长度（s1）和长度（s2）（在.NET和Java中，确定a的长度） string是O（1） - 但在这种情况下它是O（n）），将较大的值分配给x1，将较小的值分配给x2。这里很清楚x1> = x2。

对于这种情况，我们将看到确定x1和x2的额外计算使得这个O（n + 2n）我们使用以下简化规则which can be found here来简化为O（n²）：

如果f（x）是几个项的总和，则保留增长率最大的项，并忽略所有其他项。

<强>结论

表示Let x1 = length(s1) Let x2 = length(s2)（我们的限制变量），n = x1，最糟糕的情况是x1 >= x2。因此：x1 = x2

额外提示

对于所有homework problems posted to SO related to Big O notation，如果答案不是以下之一：

f(x1) ∈ O(n²)

然后问题可能最好发布到https://math.stackexchange.com/

Answer 2

在big-O表示法中，我们总是要定义出现的变量的含义。除非我们定义O(n)是什么，否则n没有任何意义。通常，我们可以省略这些信息，因为从上下文中可以清楚地看到它。例如，如果我们说某些排序算法是O(n log(n))，n总是表示要排序的项目数，因此我们不必总是说明这一点。

关于big-O表示法的另一个重要事项是它只给出了一个上限 - O(n)中的每个算法也都在O(n^2)中。符号通常用作“算法具有由表达式给出的精确渐近复杂度（直到常数因子）”的意思，但它的实际定义是“算法的复杂性受给定表达式的限制（达到常数）因子）”。

在您给出的示例中，您将m和n作为两个字符串的相应长度。根据这个定义，算法确实是O(m n)。如果我们将n定义为两个字符串中较长字符串的长度，我们也可以将其写为O(n^2) - 这也是算法复杂性的上限。对n的定义相同，算法也是O(n!)，但不是O(n)或O(n log(n))。

Answer 3

<强>为O（n ^ 2）

在复杂性方面，函数的相关部分是嵌套循环。最大迭代次数是s2长度的s1倍，两者都是线性因子，因此最坏情况下的计算时间是O（n ^ 2），即线性因子的平方。正如Ethan所说，O（mn）和O（n ^ 2）实际上是相同的。

Answer 4

这样想：

有两个输入。如果函数只是返回，那么它的性能与参数无关。这将是O（1）。

如果函数循环遍历一个字符串，则性能与该字符串的长度线性相关。因此O（N）。

但是该函数在循环中有一个循环。性能与s1的长度和S2的长度有关。将这些长度相乘，得到循环迭代次数。它不再是线性的，它遵循曲线。这是O（N ^ 2）。

字符串匹配算法的大O表示法

4 个答案: