Question

这是一个真实世界的组合优化问题。

我们为某种产品提供了大量的价值主张。价值主张属于不同类型，但每种类型都是独立的，并为整体产品增加了相同的利益。在构建产品时，我们可以包括每种类型的任何非负整数“单位”。但是，在添加某种类型的第一单元后，该类型的附加单元的边际效益会不断降低。事实上，在添加新单位之后，新单位的边际收益是该类型单位数的倒数。我们的产品必须至少有一个类型的单位，并且由于这个要求，我们必须对整体价值进行小的修正。

让T[]成为一个数组，表示产品的某个生产运行中每种类型的数量。然后整数值V由（伪代码）：

给出

V = 1
For Each t in T
    V = V * (t + 1)
Next t
V = V - 1 // correction

在成本方面，相同类型的单位具有相同的成本。但是，不同类型的单元各自具有独特的，不合理的成本。类型的数量很大，但我们给出了一个类型成本C[]的数组，它从最小到最大排序。让我们进一步假设类型数量数组T[]也按从最小到最大的成本排序。然后，总成本U只是每个单位成本的总和：

U = 0
For i = 0, i < NumOfValueTypes
    U = U + T[i] * C[i]
Next i

到目前为止一切顺利。以下是问题：如果产品P的值为V且费用为U，请找到产品Q，其费用为U'，值为V' }，U' U' > U，V'/U' > V/U。

Answer 1

老实说，我认为没有一种简单的方法可以解决这个问题。最好的办法是编写系统并用解算器解决它（Excel求解器会做技巧，但你可以使用Ampl来解决这个非lienar程序。）

该计划：

Define: U;
        V;
        C=[c1,...cn];

Variables: T=[t1,t2,...tn];

Objective Function: SUM(ti.ci)

Constraints:

For all i: ti integer
SUM(ti.ci) > U 
(PROD(ti+1)-1).U > V.SUM(ti.ci)

它适用于excel，（你只需将＆gt; U替换为＆gt; = U + d，其中d是成本的有效数字 - （即如果C = [1.1,1.8,3.0,9.3] d = 0.1因为excel不允许解算器中存在严格的不等式。）

我想像Ampl之类的真正解算器一样，它会完美无缺。

希望它有所帮助，

Answer 2

您所描述的问题是非线性整数规划问题，因为它包含整数变量t的乘积。由于严格的不等式可以通过使用非严格的不等式并在右侧添加一个小的正数（epsilon）来解决其可行性集。然后问题可以在AMPL中表达如下：

set Types;
param Costs{Types};      # C
param GivenProductValue; # V
param GivenProductCost;  # U
param Epsilon;

var units{Types} integer >= 0; # T
var productCost = sum {t in Types} units[t] * Costs[t];

minimize cost: productCost;
s.t. greaterCost: productCost >= GivenProductCost + Epsilon;
s.t. greaterValuePerCost:
  prod {t in Types} (units[t] + 1) - 1 >=
    productCost * GivenProductValue / GivenProductCost + Epsilon;

使用非线性整数编程求解器（例如Couenne。

）可以解决此问题

组合优化 - 背包的变化

2 个答案: