Question

我有一个算法，使用0到2 ^ n之间的所有位来计算集合的powerset：

public static <T> void findPowerSetsBitwise(Set<T> set, Set<Set<T>> results){
        T[] arr = (T[]) set.toArray();
        int length = arr.length;

        for(int i = 0; i < 1<<length; i++){
            int k = i;
            Set<T> newSubset = new HashSet<T>();
            int index = arr.length - 1;
            while(k > 0){
                if((k & 1) == 1){
                    newSubset.add(arr[index]);
                }
                k>>=1;
                index --;
            }
            results.add(newSubset);
        }

    }

我的问题是：这个算法的运行时间是多少。循环运行2 ^ n次，并且在每次迭代中，while循环运行lg（i）次。所以我认为运行时间是

T(n) = the sum from i=0 to i=2^n of lg(i)

但是我不知道如何进一步简化这一点，我知道这可以在O（2 ^ n）时间（非空间）递归地解决，所以我想知道上面的方法是否比这更好或更差，时间因为它在太空中更好。

Answer 1

sigma(lg(i)) where i in (1,2^n) 
= lg(1) + lg(2) + ... + lg(2^n)     
= lg(1*2*...*2^n) 
= lg((2^n)!) 
> lg(2^2^n) 
  = 2^n

因此，建议的解决方案在时间复杂度方面是值得的，然后是递归的O（2 ^ n）。

修改确切地说，我们知道每个k - log(k!)位于Theta(klogk)，因此对于k=2^n，lg((2^n)!)位于Theta(2^nlog(2^n) = Theta(n*2^n) {1}}

Answer 2

不试图求解或模拟，很容易看出这比O（2 ^ n）差，因为这是2 ^ n * $值，其中$ value大于1（对于所有i> 2）随着n的增加而增加，所以它显然不是常数。

Answer 3

应用Sterling的公式，实际上是O（n * 2 ^ n）。

这个powerset算法的运行时间是多少？

3 个答案: