Question

我正试图证明这一点：

Lemma eq_eq: forall (U: Type) (p: U) (eqv: p = p), eq_refl = eqv.

但是似乎没有办法做到。问题是类型p = p是同一术语的等式，然后尝试匹配其实例。如果不是这种情况，很容易证明带有单个构造函数的类型的项等于该构造函数。

Lemma eq_tt: forall (U: Type) (x: unit), tt = x.
Proof
  fun (U: Type) (x: unit) =>
    match x as x'
      return tt = x'
      with tt => eq_refl
    end.

但是当您对我的问题尝试相同的策略时，它会失败。

Lemma eq_eq: forall (U: Type) (p: U) (eqv: p = p), eq_refl = eqv.
Proof
  fun (U: Type) (p: U) (eqv: p = p) =>
    match eqv as e
      in _ = p'
      return eq_refl = e
      with eq_refl => eq_refl
    end.

此操作失败，并出现。术语“ e”的类型为“ p = p'”，而预期类型为“ p = p”（无法统一“ p'”和“ p”）。

问题在于这里的return子句在内部将其转换为谓词函数，如下所示：

fun (p': U) (e: p = p') =>
  eq_refl = e

之所以无法进行类型检查，是因为我们现在失去了e相等的两个词之间的约束，而eq_refl则需要该约束。

有什么办法解决这个问题？我想念什么吗？

Answer 1

您提出的引理正是uniqueness of identity proofs (UIP)的陈述。最初证明，MLTT与Hofmann and Streicher's groupoid model（pdf链接）中UIP的取反是一致的。在此模型中，类型被解释为类群，其中身份类型x = y是组群中从x到y的态射的集合。在此模型中，可以有多个不同的e: x = y。

最近，homotopy type theory接受了这种观点。类型被解释为∞-类群，而不是单纯的类群，不仅在x和y之间存在多个相等性，而且在身份p q: x = y之间也可能具有多个身份，等等。 / p>

可以说，没有上面提到的UIP或Axiom K之类的额外公理就无法证明您的引理。

您如何在Coq中证明（e：p = p）= eq_refl？

1 个答案: