Question

我正在通过本书的软件基础来学习Coq，但无法证明以下引理（我需要证明其他定理。）

Lemma if_trans : 
  forall (P Q R: Prop),
    (P -> Q) /\ (Q -> R) -> (P ->R).
Proof.
  intros P Q R [E1 E2]. 
Admitted.

这就是我被困住的地方。我无法破坏命题，尽管我可以apply E2 in E1，但它会生成两个子目标（我不明白为什么），而第二个子目标在逻辑上是无法证明的。请帮忙。我也只知道以下策略：

简单，自反，对称，破坏，归纳，应用，替换，..中，扩展，区分，注入，拆分，左，右，前奏，展开，断言，重写。

第二季度：另一个类似问题的问题。我需要使用以上证明的引理来证明其他定理。因此，假设我有两个假设H1: P -> Q和H2: Q -> R，目标是P -> R。在这种情况下，如何使用上述引理来证明目标，即如何将H1和H2合并到单个假设H : (P ->Q ) /\ (Q -> R)中？

Answer 1

您正在尝试证明以下内容：

Lemma if_trans :
  forall (P Q R : Prop),
    (P -> Q) /\ (Q -> R) -> (P -> R).

但是您仅介绍P, Q, R和P -> Q的证明，因此您可以证明Q -> R。同样，您可以使用P -> R来获得intro p作为额外的假设，然后证明p : P。

总结一下您有

战术之后

P, Q, R : Prop
E1 : P -> Q
E2 : Q -> R
p : P
===============
R

（请注意多余的intros P Q R [E1 E2] p.）。

也许这将使如何证明这一点更加清晰。

使用p时，基本上会发现apply E2 in E1在E1成立的假设下证明Q，因此将P应用于其中以获得{ {1}}，并要求您提供E2 : Q -> R的证据。

对于第二个问题，如果应用引理，它将要求R，您可以先用P然后再用(P -> Q) /\ (Q -> P)证明。不过，您不应尝试将split和assumption合并为P -> Q，但如果确实需要，则可以使用Q -> R。

（A-> B）/ \（B-> C）->（A-> C）在Coq中？

1 个答案: