Question

在我的证明中，我偶然发现了我的假设中存在A /\ B /\ C的问题，我需要证明(A /\ B) /\ C。这些在逻辑上完全相同，但是coq不会用assumption.来解决这些问题。

我一直在通过应用公理来解决这些问题，但是有更优雅（和正确）的方法来解决这个问题吗？

Answer 1

所以我的方法是定义我的引理，

Lemma conj_assoc : forall A B C, A /\ (B /\ C) <-> (A /\ B) /\ C.

这是另一个意味着另一个。

然后

intros. split.会将此分为两个目标。

A /\ (B /\ C) -> (A /\ B) /\ C
(A /\ B) /\ C -> A /\ (B /\ C)

证明这些中的每一个大致相同。对于（1），

intro Habc.从左手大小得到假设。
destruct Habc as [Ha Hbc]. destruct Hbc as [Hb Hc].获取个人假设。
auto使用这些假设。

我留给你锻炼（2），但它非常相似。

然后Qed.

Answer 2

如果您假设A /\ B /\ C，并且目标是(A /\ B) /\ C，则可以使用 tauto 这样的策略。这种策略解决了命题演算中的所有重言式。还有一种策略firstorder可以用量词解决一些公式。

如果你有A /\ B /\ C，并且想要将(A /\ B) /\ C作为参数传递给引理，那么你需要多做一些工作。一种方法是将(A /\ B) /\ C设置为中间目标并证明：

assert ((A /\ B) /\ C). tauto.

如果A，B和C是大型表达式，您可以使用复合策略来匹配假设H : A /\ B /\ C并对其应用tauto策略。这是一种严厉的方法，在这种情况下过度杀伤，但在更复杂的情况下非常有用，在这种情况下，您希望自动化具有许多类似案例的证据。

match type of H with ?x /\ ?y /\ ?z =>
  assert (x /\ (y /\ z)); [tauto | clear H]
end.

有一种更简单的方法，即应用一个执行转换的已知引理。

apply and_assoc in H.

您可以通过浏览库文档找到该引理。你也可以搜索它。这不是最容易搜索的因素，因为它是等价的，搜索工具适用于影响和平等。您可以使用SearchPattern (_ /\ _ /\ _).查找forall x1 … xn, ?A /\ ?B /\ ?C形式的词条（其中?A，?B和?C可以是任何表达式）。您可以使用SearchRewrite (_ /\ _ /\ _)查找forall x1 … xn, (?A /\ ?B /\ ?C) = ?D形式的引理。不幸的是，这并没有找到我们所追求的东西，这是forall x1 … xn, (?A /\ ?B /\ ?C) <-> ?D形式的引理。工作是什么

Coq < SearchPattern (_ <-> (_ /\ _ /\ _))
and_assoc: forall A B C : Prop, (A /\ B) /\ C <-> A /\ B /\ C

Answer 3

作为一般性提示，如果你有类似的东西，你怀疑是显而易见的，请检查标准库。方法如下：Locate "/\".生成一个回复，为我们解析Notation，

Notation            Scope     
"A /\ B" := and A B  : type_scope
                      (default interpretation)

现在我们可以发出命令SearchAbout and.以查看范围内的内容，并发现and_assoc见证了您感兴趣的含义。实际上，您可以从中获取提示你的直觉：intuition策略可以自己利用这个含义。

Lemma conj_example : forall A B C D,
  (A /\ B) /\ C -> (A /\ (B /\ C) -> D) -> D.
Proof. intuition. Qed.

我怎么说服coq（A / \ B）/ \ C == A / \ B / \ C？

3 个答案: