Question

我遇到了一个应该使用动态编程的问题，但是我真的很困惑。我真的很想确切地了解该如何处理。

问题如下：给您一个大小为N的数组，每个条目代表一个具有给定值的城市。在每个回合中，您必须选择在何处建墙。然后，“敌人”选择从哪一侧（东侧或西侧）发动进攻，摧毁所有城市，直到隔离墙。您只能从仍然存在的城市中收集价值。敌人最佳地摧毁了城市，这意味着它总是使您在游戏结束时能获得的价值最小化（而不是贪婪地使每一轮都变小）。

简单示例：

数组：8，6，2，4，2

第一轮-最佳选择是在价值6的城市和价值2的城市之间建造。敌人的进攻来自西方，导致价值8的城市被收集。

第二轮-最好的选择是在价值2的城市和价值4的城市之间建造。敌人从东方发动的攻击会导致价值2的城市被收集。

此游戏的总价值为10。

我正在寻找一个递归公式，以求得每个游戏我可以得到的最大价值。我想使用此递归公式来创建动态编程算法。任何帮助将不胜感激。

Answer 1

这里的想法似乎可以与您提供的示例配合使用。尽管没有更多测试可确认，但它可能并不完全可靠，但可以帮助您考虑一下。请查看代码中的注释。（前两个功能是帮助有效地计算子数组的和。）

function getPrefixSums(A){
  var ps = new Array(A.length + 1).fill(0)
  for (let i=0; i<A.length; i++)
    ps[i+1] = A[i] + ps[i]
  return ps
}

function getSum(ps, l, r){
  return ps[r+1] - ps[l]
}

function f(A, ps, l, r){
  // No moves available 
  if (l == r)
    return 0
  // One choice to place wall
  if (l + 1 == r)
    return Math.min(A[l], A[r])
    
  // For each of our available choices,
  // the enemey will choose the side
  // that guaratees we get the least.
  // Choose the BEST of these.
  let goodForUs = -Infinity

  for (let i=l+1; i<=r; i++){
    let west = getSum(ps, i, r) + f(A, ps, i, r)
    let east = getSum(ps, l, i-1) + f(A, ps, l, i-1)

    if (east > west){
      // Enemy chose west
      if (west > goodForUs)
        goodForUs = west
      
    // Enemy chose east
    } else if (east > goodForUs){
      goodForUs = east
    }
  }
  
  return goodForUs
}

var A = [8, 6, 2, 4, 2]
var ps = getPrefixSums(A)

console.log(f(A, ps, 0, A.length-1))

寻找动态规划问题的递归公式

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