使用Toffoli门的OR门实现

Question

可以使用不超过2个Toffoli门来实现“或”门吗？

我已经使用3个Toffoli门实现了它，但是找不到使用2个Toffoli门实现它的方法。

Answer 1

我假设您的意思是对两个量子位进行“或”门操作，这将产生以下效果：

|x₀⟩⊗|x₁⟩⊗|y⟩ → |x₀⟩⊗|x₁⟩⊗|y ⊕ (x₀ ∨ x₁)⟩

使用德摩根定律x₀∨x₁=¬（¬x₀∧∧x₁），您可以只用一个托菲利门来完成它，如下所示：

1. 对每个输入量子位应用X门：
   |x₀⟩⊗|x₁⟩⊗|y⟩ → |¬x₀⟩⊗|¬x₁⟩⊗|y⟩
2. 应用一个Toffoli门，其中两个输入qubit作为控制，输出qubit作为目标：
   |¬x₀⟩⊗|¬x₁⟩⊗|y⟩ → |¬x₀⟩⊗|¬x₁⟩⊗|y ⊕ (¬x₀ ∧ ¬x₁)⟩
3. 再次将X门应用于每个输入的qubit，以使其返回初始状态：
   |¬x₀⟩⊗|¬x₁⟩⊗|y ⊕ (¬x₀ ∧ ¬x₁)⟩ → |x₀⟩⊗|x₁⟩⊗|y ⊕ (¬x₀ ∧ ¬x₁)⟩
4. 将X门应用于输出量子位以对结果求反：
   |x₀⟩⊗|x₁⟩⊗|y ⊕ (¬x₀ ∧ ¬x₁)⟩ → |x₀⟩⊗|x₁⟩⊗|y ⊕ ¬(¬x₀ ∧ ¬x₁)⟩ = |x₀⟩⊗|x₁⟩⊗|y ⊕ (x₀ ∨ x₁)⟩

Answer 2

我认为以下内容使用2个Toffoli门（未使用其他门）来按原意回答您的问题。

让Toffoli门表示为Toffoli(x, y, z)，其中x和y是2个控制位，z是第三个输入位。

OR(x,y) = Toffoli(1,y,Toffoli(x,y,x))

内部Toffoli门给出|x⊕(x ∧ y)⟩

外部Toffoli门（充当XOR）产生|x⊕y⊕(x ∧ y)⟩。

您可以检查该表达式的真值表，您会看到它对应于OR门。