哈密​​顿量的CNOT门的实现

Question

我需要证明使用下面的哈密顿量（对于封闭的二分系统），我们能够实现Controlled-Not门。 哈密​​顿量为：

?= g / 4（?-?z）⊗（?-?x）

任何提示将不胜感激。

Answer 1

我不确定您的哈密顿量是否有错别字。如果哈密顿量是 $\hat{H} = g/4 (I - \sigma_z) \otimes (I - \sigma_z) $，那么通过显式计算 $$ \hat{H} = g/4 \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 4 \ \end{pmatrix} $$ 然后，在相对于 $g$ 的适当演化时间 $t$ 下，我们得到了由哈密顿量生成的幺正 $$U = e^{-i \hat{H} t } = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -1 \ \end{pmatrix} $$ 这是CPHASE门或称为受控Z门。

参考：https://inst.eecs.berkeley.edu/~cs191/fa14/lectures/lecture5.pdf

CNOT 门可以通过共轭哈达玛门 $H$（相位回冲技巧）与 CPHASE 关联，即 $$CNOT=(I\otimes H) CPHASE (I\otimes H)$$