验证稳定匹配的算法？

Question

我知道使用Gale-Shapley可以确保找到稳定的匹配，但是如果给出匹配，我们如何验证匹配是稳定的匹配。换句话说，我应该考虑哪些条件是有效的并且是稳定的匹配条件。

Answer 1

目前，我可以想到三种方式（在双向匹配市场中）：

1. 像@jrook先前回答中那样进行野蛮搜索。
2. 您运行过两次Gale-Shapely算法，一个是男人提议的，另一个是女人提议的，

提议的递延验收是最优的，它使每个人都与他的匹配 最可能的稳定女性伴侣，并且也是 女人最差的，它使每个女人都与她最糟糕的马stable相匹配 男性伴侣。对于建议女性使用的延迟接受算法，反之亦然。

以此，您可以在每个男人和女人的名单上找到一系列可能的稳定伴侣，然后检查您当前匹配的伴侣是否在每个男人和女人的那个范围内。

1. 如果您知道稳定的室友问题或阅读论文The Complexity of Counting Stable Marriages，则可以使用该算法的第一阶段的类比来获得一系列可能的稳定伙伴，然后检查您当前匹配的伙伴是否位于每个男人和女人的范围。

总而言之，它们是我的粗略想法，因为我没有仔细考虑如何在代码中实现它并评估其运行时复杂性。据我所知，上述所有方法都可以在O（n ^ 2）时间内运行，因此考虑到实现方法的简单性，方法一还不错。我想将会有一种更有效的方法（也许利用顶级交易周期的想法）。如果我有任何错误，请随时指出。

P.S .：术语“可能的稳定伴侣”指的是以下示例中所述的情况：如果男人m和女人w在稳定匹配中匹配，则我们说w是m的可能的稳定伴侣。

Answer 2

首先，如果您通过GS算法获得了匹配，it is guaranteed that：

  

男人向女人求婚的Gale-Shapley算法总是产生效果   在所有马matching中最适合所有人的马matching   匹配项

因此无需验证稳定性。

如果您具有随机匹配项，并且想要检查它是否稳定，则可以参考稳定匹配项的definition：

  

给出n位男性和n位女性，其中每个人都对   异性按喜好顺序嫁给男人和女人   在一起，这样就不会有两个异性会   他们俩宁愿彼此之间，而不是彼此之间当前的伙伴。 在那里   没有这样的人，婚姻就被认为是稳定的。

因此可以验证是否没有这样的对。我们只需要检查每个人的当前合作伙伴，而不是其排名列表中排名较高的合作伙伴。如果这些较高级别的选择之一也喜欢此人，则匹配不稳定。

伪代码：

for w in women:
    for m in [men w would prefer over current_partner(w)]:
        if m prefers w to current_partner(m) return false

return true