Question

我知道算法 A 在$ \ Theta（\ sqrt {n}）$中运行，但是如何得出这一事实呢？

算法 A

i = 0
s = 0
while s <= n:
    s += i
    i += 1

这就是我的想法。我们知道 A 的上限是O（n），因为我们在每次迭代中将$ s $递增1以上。我们也知道，它必须以$ \ log n $为下界，因为我们在每次迭代中以$ 2 ^ i $以下的增量增加$ s $。（如果我错了，请纠正我，这些只是我的想法...）。

现在，关于 A ，我们还能说些什么？我们如何得出其时间复杂度为$ \ Theta（\ sqrt {n}）$？

Answer 1

为帮助您进行推理，您可以进行实验性测试来计算迭代次数。例如：

for n in range(100000000, 1000000000, 100000000) :   
    i = 0
    s = 0
    while s <= n:
        s += i
        i += 1

并获得以下结果：

    n       | iterations|   sqrt(n)
-------------------------------------
100000000   |   14143   |   10000.00
200000000   |   20001   |   14142.14
300000000   |   24496   |   17320.51
400000000   |   28285   |   20000.00
500000000   |   31624   |   22360.68
600000000   |   34642   |   24494.90
700000000   |   37418   |   26457.51
800000000   |   40001   |   28284.27
900000000   |   42427   |   30000.00

编辑

如@WillNess所建议，您可以here

了解更多信息

Answer 2

从代码s = 1 + 2 + 3 + .... + i（1）和s <= n（2）中可以看到。第一个等式也可以写为s = i * (i + 1) / 2，这意味着i中的sqrt(s * 2)和sqrt(n * 2)近似，并且如我们从代码中看到的while循环运行i次，每次都进行O(1)计算。因此，总体复杂度为O(sqrt(n))

Answer 3

每次增加i时，我们就将s添加到i中。因此，这意味着经过k个步骤之后，s已增长为：

     k
    ---
    \
s = /   i
    ---
    i=0

此序列是已知的。在 k 步骤之后，有 T _k 个数字，其中 T _k triangular number [wiki]。 T _k 的较短公式是 T _k = i×（i + 1）/ 2 。因此 T _k 用 k 缩放二次。

当 T _k 高于 n 时，该过程将停止。因此，我们可以确定： T _k> n ，从而确定 k×（k + 1）/ 2> T _k < / em>，因此 k ² / 2 + k / 2-n> 0 。这是一个二次方程，判别式 d = 1/4 + 2×n ，因此作为（正）解 k ₀ =-1/2 + √d。因此，它以√2n缩放。

派生一个while循环在$ \ Theta（\ sqrt {n}）$中运行

3 个答案:

编辑