Question

我想证明quicksort的递归在n log n的最佳时间运行。

我得到了这个递归公式

B.one()

到目前为止我得到了什么：

M(0) = 1
M(1) = 1
M(n) = min (0 <= k <= n-1) {M(K) + M(n - k - 1)} + n

show that M(n) >= 1/2 (n + 1) lg(n + 1)

专注于我得到的内在感受：

By induction hyposes

M(n) <= min {M(k) + M(n - k - 1} + n

但是我认为我做错了什么。我认为“ k”应为gonne，但我看不到此等式如何抵消所有“ k”。所以，可能是我做错了事

Answer 1

您确实想摆脱1/1/2019 12:00:00 PM is not between 1:00 and 3:00 1/1/2019 1:00:00 PM is between 1:00 and 3:00 1/1/2019 2:30:00 PM is between 1:00 and 3:00 1/1/2019 3:00:00 PM is between 1:00 and 3:00 1/1/2019 3:30:00 PM is not between 1:00 and 3:00。为此，您希望找到最小值k的下限。通常，它可能是任意棘手的，但是在这种情况下，标准方法有效：用M(k) + M(n - k - 1)求导数。

我们希望导数为((k+1) ln(k+1) + (n-k) ln(n-k))' = ln(k+1) + (k+1)/(k+1) - ln(n-k) - (n-k)/(n-k) = ln((k+1) / (n-k))，所以

您可以检查是否确实是本地最小值。因此，ln((k+1) / (n-k)) = 0 <=> (k+1) / (n-k) = 1 <=> k + 1 = n - k <=> k = (n-1) / 2达到了M(k) + M(n - k - 1)的最佳下界（可以从归纳假设中获得）。现在，您可以用该值代替k=(n-1)/2，而k将是您唯一剩下的变量。

证明递归：证明M（n）> = 1/2（n + 1）lg（n +1）

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