Question

我正在leetcode.com上练习基本的编程技能（我强烈推荐它。这很棒），并且遇到了有趣的结果。

我试图找到给定数组A的第一个不动点，该点具有严格的升序值。

我以两种方式做到这一点。首先，二进制搜索/线性时间混合

    start, end = 0, len(A) - 1
    while(start <= end):
        middle = (start + end) / 2
        if A[middle] == middle:
            for i in range(start, middle + 1):
                if A[i] == i:
                    return i
        elif A[middle] > middle:
            end = middle - 1
        elif A[middle] < middle:
            start = middle + 1
    return -1

这是简单的二进制搜索，直到找到匹配项，然后依次遍历所有可能的第一个固定点，直到找到第一个匹配项。这是线性部分进入的地方。例如，假设len(A) = 1001和A[500] = 500是唯一的固定点，那么我在二分查找的一次迭代中找到了它，但是随后我必须从索引开始0至500，一个接一个，寻找第一个匹配项。那是n/2或换句话说O(n)

第二种解决方案是纯二进制搜索

    start, end = 0, len(A) - 1
    fixed_point = -1
    while(start <= end):
        middle = (start + end) / 2
        if A[middle] == middle:
            fixed_point = middle
            end = middle - 1
        elif A[middle] > middle:
            end = middle - 1
        elif A[middle] < middle:
            start = middle + 1
    return fixed_point

我希望它会更好，但实际上会更糟。

第一个解决方案在运行时间方面击败了所有提交的97％，运行时间为40毫秒。

第二种解决方案仅击败所有提交的72％，运行时间为48毫秒。

我很好奇为什么会这样。第二种解决方案真的更好吗？

Answer 1

在A[middle] == middle处：“找到固定点的任何索引”的位置。第一个版本更有效地找到中点运行的起点，假设它发生在线性扫描的起点“ fsvo”附近（fsvo）：每个二进制循环的成本“更昂贵”（ C），而不考虑所需的循环数（O复杂度）。 对于特定的简并输入，应该有可能构造纯二进制搜索更好的情况： n的大小和输入的分布。

例如，[0, 0, 0 ..., midpoint=1, 1, 1 ...]的简并情况在第一个版本中将是O(n)，因为线性循环将超过start=0..midpoint=n/2 ¹。 使用此退化数据以及足够大的n值，纯二进制搜索将在边界更好的情况下占主导地位。但是，假定它是“分布良好的随机数据”，则采用线性方法探针可以在非常小的线性扫描集中进行磨练（对于最终循环，C较小）。

这类似于为什么线性扫描对于小型阵列来说更快，以及为什么合并排序或快速排序（例如）可以切换到插入排序以进行近叶排序的原因。 Big-O将行为描述为n-> Inifinity，而没有考虑固定成本。

¹扫描也可能是midpoint=n/2..start=0。在这种情况下，所示的简并情况是理想情况，而相应的简并情况将是[0, 1, 1, 1 ...]。

二进制搜索的性能比线性搜索差

1 个答案: